Отношение делимости в кольце целых чисел.

Рассмотрим простейшие свойства делимости в кольце целых чисел.

Определение. Пусть а и b — целые числа. Говорят, что b делит а, если для некоторого целого q. Вместо делит а» говорят также, что а делится на или что а кратно b, и пишут или . В противном случае говорят, что а не делится на b, а не кратно b, b не делит не является делителем а, и пишут .

Теорема 4.5. Пусть — любые целые числа. Тогда

Свойства отношения делимости легко следуют из определения делимости и свойств кольца Их доказательство предоставляется читателю.

Лемма 4.6. Если произведение натуральных чисел равно единице, то

Доказательство. Из условия следует, что а и отличны от нуля. По теореме 2.6, их можно представить в виде Следовательно, .

Если сумма натуральных чисел равна нулю, то в силу следствия 2.8 каждое слагаемое равно нулю. В частности, следовательно, .

Теорема 4.7. Если целое число а делит единицу, то .

Доказательство. Предположим, что а делит единицу, т. е. для некоторого целого b. Тогда . Так как — натуральные числа, то, по лемме Следовательно, по теореме 4.1,

Поскольку а или —а является натуральным числом, то, по лемме 4.6, из и равенства (1) следует, что или

Теорема 4.8. Если целые числа ассоциированы (т. е. ), то .

Доказательство. По условию а делит b и b делит а, т. е. для некоторых целых поэтому

Если то и теорема верна. Если же то из (1) следует . По теореме 4.7, из равенства следует, что . Кроме того, следовательно,