Запись и решение системы n линейных уравнений с n переменными в матричной форме.

Рассмотрим систему линейных уравнений

над полем . Если ввести обозначения

то систему (I) можно записать в виде матричного уравнения

Легко видеть, что уравнение (2) равносильно системе уравнений (I). Уравнение (2) называется матричной формой записи системы уравнений (I).

ТЕОРЕМА 2.10. Если строки матрицы А линейно независимы, то вектор является единственным решением уравнения (2).

Доказательство. Предположим, что какой-либо вектор-столбец есть решение уравнения (2), т. е. Умножив слева обе части равенства на получим

Таким образом, либо уравнение (2) имеет решение либо оно не имеет решений.

Однако равенство показывает, что вектор является решением уравнения (2). Следовательно, вектор является единственным решением уравнения (2).

СЛЕДСТВИЕ 2.11. Если строки основной матрицы А системы (I) линейно независимы, то система совместна и вектор является ее единственным решением.