Условия, при которых система n линейных однородных уравнений с n переменными имеет ненулевые решения.

ТЕОРЕМА 6.5. Система линейных однородных уравнений с переменными имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель матрицы системы равен нулю.

Доказательство. Пусть дана система линейных однородных уравнений

и — матрица этой системы. Система (1) имеет ненулевые решения в том и только в том случае, когда столбцы матрицы А линейно зависимы. Столбцы матрицы А линейно зависимы тогда и только тогда, когда

Следовательно, система (1) имеет ненулевые решения в том и только в том случае, когда

СЛЕДСТВИЕ 6.6. Матричное уравнение где имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда