Непрерывность модуля полинома.

Пусть f — полином от над полем комплексных чисел. Отображение определенное на множестве С всех комплексных чисел, есть действительная функция комплексной переменной. Ее мы будем назьюать модулем полинома f и обозначать символом

ТЕОРЕМА 1.2. Пусть f — любой полином из Модуль полинома f является непрерывной функцией на множестве С.

Доказательство. Покажем, что для всякого положительного найдется такое положительное , что для всякого комплексного числа , если то

Теорема, очевидно, верна, если полином f нулевой или имеет нулевую степень. Предположим, что полином f имеет положительную степень .

Разложим по степеням разности :

Поскольку то

и по теореме 4.7.8 получаем неравенство

Положим

так как то Легко видеть, что при

В силу (1) и (2) имеем

Кроме того, для любого

Каждому числу в поставим в соответствие положительное число тогда если . Кроме того, для любого комплексного числа

Следовательно, для любого можно найти такое что для всякого z из С

ТЕОРЕМА 1.3. Пусть f — полином из . Если последовательность сходится к комплексному числу а, то последовательность сходится к числу Доказательство. По теореме 1.2,

По условию, последовательность сходится к числу а. Следовательно, для любого существует такое натуральное число что для всякого Отсюда в силу (1) следует

Таким образом, последовательность сходится к числу