Свойства умножения.

Пусть N — множество всех натуральных чисел.

Умножение натуральных чисел определяется следующими условиями (аксиомами):

V. для каждого из N.

VI. для любых из

Из зтих условий следует, что

Таким образом, умножение является повторным сложением числа с самим собой.

ТЕОРЕМА 2.10 (ПРАВЫЙ ЗАКОН ДИСТРИБУТИВНОСТИ УМНОЖЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО СЛОЖЕНИЯ). Для любых натуральных а, b и с

Доказательство. Зафиксируем произвольные значения а и b. Определяемый при этом формулой (1) предикат обозначим через А (с). Доказательство проводится индукцией по натуральной переменной с. По аксиоме V справедлива формула

Предположим, что для какого-нибудь натурального числа верна формула

Тогда имеем:

(по аксиоме VI);

(по индуктивному предположению);

(в силу ассоциативности и коммутативности сложения);

(по аксиоме VI),

т. е. верна формула Согласно принципу индукции верно для любого натурального с.

Поскольку фиксировались произвольные значения а и b, то формула (1) верна для любых натуральных а, b и с.

ЛЕММА 2.11. Для любого натурального числа а Доказательство (проводится индукцией по а). По аксиоме V, имеем Предположим, что для какого-нибудь натурального числа . Тогда Согласно принципу индукции, формула верна для любого натурального числа а.

ТЕОРЕМА 2.12. Умножение натуральных чисел коммутативно, т. е. для любых натуральных а и b

Доказательство. Используя индукцию по с, покажем, что для любого а верна формула

Зафиксируем в формуле (1) произвольное значение а. Обозначим через предикат, определяемый равенством (1). Предположим, что для какого-нибудь натурального числа верна формула

Тогда имеем:

(по аксиоме VI);

(по предположению индукции);

(по лемме 2.11);

(по дистрибутивности умножения относительно сложения),

т. е. выполняется формула Согласно принципу индукции, верно для любого натурального b. Поскольку фиксировалось произвольное значение а, то формула (1) верна для любых натуральных а и b.

Из теорем 2.10 и 2.12 вытекает следующая теорема. ТЕОРЕМА 2.13 (ЛЕВЫЙ ЗАКОН ДИСТРИБУТИВНОСТИ УМНОЖЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО СЛОЖЕНИЯ). Для любых натуральных а, b, и с выполняется равенство

ТЕОРЕМА 2.14. Умножение натуральных чисел ассоциативно, т. е. для любых натуральных а, b и с

Доказательство (проводится индукцией по с). Пусть обозначает предикат, определяемый формулой (1) при фиксированных значениях По аксиоме V, имеем: Следовательно, верна формула

Предположим, что для какого-нибудь натурального числа я верна формула

Тогда имеем:

(по аксиоме VI);

(по теореме 2.13);

(по предположению индукции);

(по аксиоме V);

(по теореме 2.13),

т. е. верна формула Согласно принципу индукции, формула верна при любом натуральном с. Поскольку фиксировались произвольные значения а и b, то формула (1) верна для любых натуральных а, b и с.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Алгебра называется мультипликативным моноидом натуральных чисел.

ТЕОРЕМА 2.15. Для любых натуральных чисел а и b, если то

Доказательство. Предположим, что . По теореме 2.6, существуют такие натуральные числа , что . В силу аксиом VI и IV имеем

По аксиоме Следовательно,

ТЕОРЕМА 2.16 (ЗАКОН СОКРАЩЕНИЯ ДЛЯ УМНОЖЕНИЯ). Для любых натуральных а, b, с, если , то

Доказательство. По условию,

Допустим, что . По теореме 2.8, либо существует такое k, что либо существует такое , что . В первом случае и в силу (1), что (по следствию 2.5) невозможно, так как и (по теореме

Во втором случае аналогичные рассуждения показывают, что допущение ведет к противоречию.

Упражнения

1. Докажите формулы:

2. Докажите, что число подмножеств из k элементов множества из элементов выражается формулой

3. Докажите, что для

4. Докажите, что для любого натурального

5. Докажите, что

6. Докажите, что

7. Докажите, что для любых натуральных чисел а, b, с и d сумма а не зависит от порядка слагаемых.