§ 3. КОЛЬЦА ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ

Простейшие свойства делимости в коммутативном кольце.

Пусть — коммутативное кольцо и а, b — его элементы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элемент b называется делителем а, а элемент а — кратным b, если в существует такой элемент с, что

Запись означает, что b есть делитель а. Запись означает, что а делится на b, или а кратно b.

Элемент с называется общим делителем а и b, если Аналогично определяется общий делитель нескольких элементов кольца.

Элементы а и b кольца называются ассоциированными в , если а

Элемент а называется обратимым в или делителем единицы, если существует в такой элемент 6, что в этом случае пишут

Делитель единицы делит любой элемент кольца. Если — поле, то обратим любой его элемент, отличный от нуля.

Рассмотрим простейшие свойства делимости в коммутативном кольце.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.1. Отношение делимости в кольце рефлексивно и транзитивно, т.е. является предпорядком,

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.2. Общий делитель двух или нескольких элементов кольца является делителем суммы и произведения этих элементов.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.3. Если элемент с делит хотя бы один из элементов то он делит произведение этих элементов.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.4. Отношение ассоциированности в коммутативном кольце является отношением эквивалентности.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.5. Если а ассоциировано с b и , то

Доказательство предложений 3.1-3.5 предоставляется читателю.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.6. В области целостности элементы а и b ассоциированы тогда и только тогда, когда существует такой обратимый в кольце элемент и, что

Доказательство. Пусть — область целостности и а, b — элементы, ассоциированные в . Если один из элементов а, b равен нулю, то необходимо равен нулю и другой. Тогда

Предположим, что Тогда существуют такие ненулевые элементы и и v, что . Следовательно, . Поскольку — область целостности и из последнего равенства следует, что Таким образом, элемент и обратим в и

Предположим теперь, что где — обратимый элемент кольца тогда Следовательно, а и b ассоциированы в .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.7. Пусть А — множество всех обратимых элементов коммутативного кольца Тогда алгебра где -унарная операция, ставящая в соответствие элементу а из А обратный элемент является группой.

Доказательство предложения 3.7 предоставляется читателю.