Глава пятнадцатая. ПОЛИНОМЫ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

§ 1. КОЛЬЦО ПОЛИНОМОВ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Кратное расширение кольца.

Пусть — ненулевое подкольцо коммутативного кольца — элементы кольца .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минимальное расширение кольца являющееся подкольцом кольца и содержащее элементы из L, называется подкольцом кольца , порожденным кольцом и элементами

Это кольцо обозначается через а его основное множество — через

Очевидно, кольцо является пересечением всех подколец кольца , содержащих элементы и имеющих кольцо в качестве подкольца.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Кольцо, обозначаемое через и определяемое индуктивно формулами

называется -кратным расширением кольца

ТЕОРЕМА 1.1. Пусть — подкольцо коммутативного кольца тогда

Доказательство. Теорема, очевидно, верна при Предположим, что теорема верна, когда к кольцу присоединяется элементов. Из определения следует, что

поэтому

С другой стороны, поскольку , то

В силу (2) и (3) имеем

По индуктивному предположению,

На основании равенств (4) и (5) заключаем, что

Следовательно, верна формула (1).