Упражнения

1. Найдите все подгруппы аддитивной группы всех целых чисел.

2. Найдите все подгруппы циклической группы порядка 12.

3. Найдите все подгруппы циклической группы порядка 24.

4. Докажите, что конечная группа простого порядка является циклической и любой ее элемент, отличный от нейтрального, является образующим.

5. Докажите, что существуют циклические группы произвольного порядка.

6. Докажите, что порядок любого элемента конечной группы есть делитель порядка группы.

7. Пусть — взаимно простые натуральные числа. Покажите, что в мультипликативной абелевой группе произведение элемента а порядка на элемент b порядка есть элемент порядка

8. Покажите, что любая группа порядка -циклическая.

9. Пусть — мультипликативная группа корней из 1 (корней -й степени при всевозможных натуральных . Покажите, что для всякого натурального числа , отличного от нуля, группа имеет только одну подгруппу порядка и что каждая такая подгруппа циклическая.