Характеристика кольца.

Пусть — кольцо с единицей е. В аддитивной группе кольца элемент имеет либо конечный порядок либо бесконечный порядок

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Говорят, что кольцо имеет конечную характеристику , если в аддитивной группе кольца единица кольца имеет конечный порядок т. Говорят, что кольцо имеет характеристику нуль, если единица кольца имеет бесконечный порядок.

Поскольку всякое поле есть кольцо, мы можем говорить о характеристике поля . Условимся обозначать через характеристику кольца .

Примеры. 1. Пусть — кольцо целых чисел. Для любого целого положительного числа выполняется условие Следовательно, кольцо целых чисел имеет нулевую характеристику.

2. Пусть — любое натуральное число, отличное от нуля . Фактор-кольцо имеет конечную характеристику , так как 1 — единица кольца имеет порядок т.

3. Пусть — любое числовое кольцо. Тогда для любого целого положительного числа выполняется неравенство и, значит, Следовательно, любое числовое кольцо имеет характеристику нуль.

4. Пусть — поле характеристики — кольцо квадратных матриц над и Е — единичная матрица, единица кольца. Кольцо имеет характеристику , так как

ТЕОРЕМА 1.7. Характеристикой области целостности является либо нуль, либо простое число.

Доказательство. Пусть — область целостности и — единица кольца . Если то имеет характеристику нуль.

Если то Однако 0, так как — область целостности. Значит, .

Предположим теперь, что есть положительное составное натуральное число:

Следовательно,

Так как то а поскольку — область целостности, то Мы пришли к противоречию, допустив, что есть составное число. Следовательно, является простым числом.

ТЕОРЕМА 1.8. Пусть — простой элемент кольца Тогда фактор-кольцо является полем.

Доказательство. Пусть а — любой ненулевой элемент кольца Надо доказать, что а обратим в кольце Условие означает, что не делит а. Следовательно, и а взаимно просты. Поэтому существуют такие целые числа что Следовательно, т. е. элемент а обратим в кольце Таким образом, кольцо является полем.