Глава седьмая. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

§ 1. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Понятие векторного пространства.

Пусть — поле и F — его основное множество. Элементы множества F будем называть скалярами, а — полем скаляров.

Пусть V — непустое множество и — прямое произведение множеств F и V. Пусть задано отображение

ставящее в соответствие каждой паре из единственный элемент множества V, который будем обозначать через и называть произведением скаляра и элемента а. Если фиксировать скаляр , то отображение со индуцирует отображение

которое является ограничением на множество . Отображение со, при фиксированном можно рассматривать также как одноместную (унарную) операцию ставящую в соответствие каждому элементу а из элемент из V. Таким образом, для любого а из К.

Пример. Пусть -поле, и — фиксированный элемент из F. Обозначим через отображение V в V, ставящее в соответствие каждому вектору из вектор из который называется произведением скаляра и арифметического вектора ).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество V с заданными на нем бинарной операцией (называемой сложением) и операциями умножения элементов поля скаляров на элементы множества V называется векторным пространством над полем если для любых а, b из V и из F выполнены следующие условия (аксиомы):

(1) алгебра (), где — есть операция умножения на скаляр элементов из V, является абелевой группой;

Векторное пространство с основным множеством V обозначается через . Таким образом, векторное пространство есть алгебра с основным множеством V, в котором бинарная операция и унарные операции (умножение на скаляр из F) суть главные операции, т. е.

при этом главные операции удовлетворяют условиям называемым аксиомами векторного пространства.

Группа называется аддитивной группой векторного пространства . Нуль 0 этой группы называется нулевым вектором пространства Элементы множества V называются векторами векторного пространства Векторы а и а являются взаимно противоположными.

Примеры векторных пространств. 1. Пусть — -мерное арифметическое пространство над полем является векторным пространством над полем Важные частные случаи:

2. Множество всех векторов плоскости есть векторное пространство над полем действительных чисел относительно операций сложения и умножения на действительные числа.

3. Пусть — множество всех -матриц над полем Алгебра где есть операция сложения матриц и — операция умножения матриц на скаляр , является векторным пространством над Его называют векторным пространством -матриц над полем

4. Множество всех отображений множества R в R является векторным пространством над полем относительно операций сложения отображений и умножения отображений на действительные числа.

5. Множество С всех комплексных чисел есть векторное пространство над полем относительно операций сложения комплексных чисел и умножений их на действительные числа.