Корни n-й степени из единицы.

Пусть — любое натуральное число, отличное от нуля.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Комплексное число w, удовлетворяющее условию называется корнем степени из единицы.

ТЕОРЕМА 8.5. Существует точно различных корней степени из единицы и все они получаются по формуле

Доказательство. Каждое из чисел есть корень степени из единицы, так как согласно формуле Муавра

Действительные числа неотрицательны, меньше числа и попарно различны. Следовательно, по теореме 8.2, комплексные числа

попарно различны.

Нам остается показать, что произвольный корень степени из единицы принадлежит множеству По теореме 8.2, число w можно представить в виде , причем действительное число удовлетворяет условиям

Так как то и, по теореме Следовательно, По формуле Муавра Поэтому равенство можно записать в виде

По теореме 8.3, из (2) следует, что для некоторого целого числа k, поэтому . Кроме того, в силу (1) и, значит, Следовательно,

СЛЕДСТВИЕ 8.6. Точки комплексной плоскости, изображающие корни степени из единицы, являются вершинами правильного -угольника, вписанного в окружность единичного радиуса с центром в начале координат, причем одна из вершин находится в точке (0, 1).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Комплексное число w называется первообразным корнем степени из единицы ), если множество чисел является множеством всех решений уравнения

Так, например, при любом натуральном число

в силу теоремы 8.5 является первообразным корнем степени из единицы.