Простейшие свойства кольца.

Пусть — кольцо. Так как алгебра есть абелева группа, то в силу свойства 3.5 для любых элементов а, b из К уравнение имеет единственное решение которое обозначается также через а — b.

ТЕОРЕМА 4.1. Пусть — кольцо. Тогда для любых элементов а, b, с кольца:

Доказательство. (1) Если а то

(3) В аддитивной группе кольца Отсюда, по закону сокращения, следует равенство —

(4) В силу дистрибутивности умножения относительно сложения , т. е. . В силу (1) из последнего равенства следует

(5) В силу (4) и дистрибутивности умножения относительно сложения Отсюда в силу (2) следует Аналогично доказывается, что

(6) В силу

(7) В силу (5) и дистрибутивности умножения относительно сложения Аналогично доказывается, что