Факториалыюсть кольца полиномов.

Докажем теорему, аналогичную теореме 14.3.7.

ТЕОРЕМА 1.8. Пусть — факториальное кольцо. Тогда кольцо полиномов над также является факториальным.

Доказательство. Теорема доказывается индукцией по п. Для утверждение верно по теореме 14.3.7. Предположим, что кольцо полиномов от над факториально.

Докажем, что тогда факториально также кольцо По теореме 1.1,

По индуктивному предположению, кольцо факториально. Следовательно, в силу теоремы 14.3.7 факториально его расширение с помощью элемента трансцендентного над кольцом

Таким образом, кольцо полиномов факториально для любого натурального n.

СЛЕДСТВИЕ 1.9. Кольцо полиномов над полем факториально.

Упражнения

1. Покажите, что неприводимы над полем рациональных чисел следующие полиномы от двух переменных: Приводимы ли эти полиномы над полем комплексных чисел?

2. Докажите, что кольцо полиномов над полем от двух переменных не является кольцом главных идеалов.

3. Пусть кольцо полиномов над полем от двух переменных. Докажите, что фактор-кольцо изоморфно кольцу