Наименьшее подкольцо кольца.

Подкольцо, порожденное единицей кольца , содержится в любом подкольце этого кольца.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Подкольцо кольца , порожденное его единицей, называется наименьшим или главным подкольцом кольца .

Пусть — единица кольца — наименьшее подкольцо кольца . Тогда Е является основным множеством кольца . Легко проверить, что кольцо является пересечением всех подколец кольца .

ТЕОРЕМА 1.9. Пусть — характеристика кольца — наименьшее подкольцо этого кольца. Если , то изоморфно кольцу целых чисел. Если же , то изоморфно фактор-кольцу

Доказательство. Рассмотрим отображение h множества Z в Е такое, что

В силу (1) h есть отображение множества Z на Е и, кроме того, h сохраняет главные операции кольца , т. е.

для любых целых . Следовательно, h является эпиморфизмом кольца на кольцо .

Покажем, что . В самом деле, поскольку то . Далее, если то значит, Кроме того, поскольку то по теореме 10.3.1. Таким образом, следовательно,

По теореме о кольцевых эпиморфизмах, . А так как то . В частности, при Следовательно, при кольцо изоморфно кольцу целых чисел.

СЛЕДСТВИЕ 1.10. Пусть — область целостности характеристики Тогда — наименьшее подкольцо кольца — является полем.

Доказательство. Поскольку то, по теореме 1.7, — простое число. Следовательно, по теореме — поле. В силу теоремы 1.9 кольцо Ш изоморфно полю и, значит, само является полем