Глава семнадцатая. ПОЛИНОМЫ НАД ПОЛЕМ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЧИСЛА

§ 1. ЦЕЛЫЕ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ КОРНИ ПОЛИНОМА. КРИТЕРИЙ НЕПРИВОДИМОСТИ

Целые и рациональные корни полинома.

Следующая теорема дает возможность найти рациональные корни полинома с целыми коэффициентами.

ТЕОРЕМА 1.1. Пусть — целые взаимно простые числа и Если — корень полинома с целыми коэффициентами, то делит и q делит

Доказательство. По условию,

Умножив обе части равенства на получим

На основании равенства (1) заключаем, что делит . А так как числа — взаимно простые, то взаимно простыми будут числа Следовательно, делит

В силу ( делит . Кроме того, числа q и взаимно простые, так как, по условию, числа q и — взаимно простые. Следовательно, q делит

СЛЕДСТВИЕ 1.2. Если целое число есть корень полинома с целыми коэффициентами, то делит свободный член

СЛЕДСТВИЕ 1.3. Рациональный корень нормированного полинома с целыми коэффициентами является целым числом.

Критерий неприводимости Эйзенштейна.

Вопрос о приводимости полинома в кольце сводится к вопросу о приводимости в кольце

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.4. Пусть f — полином из кольца полиномов Если полином f приводим в кольце то он приводим в кольце

Поскольку поле является полем частных кольца целых чисел, то предложение 1.4 непосредственно следует из леммы 14.3.5.

ТЕОРЕМА 1.5 (критерий Эйзенштейна). Пусть — полином с целыми коэффициентами. Пусть все коэффициенты полинома f, кроме старшего, делятся на какое-нибудь простое число и свободный член не делится на Тогда полином f неприводим в кольце (

Доказательство. Допустим, что полином f приводим в кольце Тогда в силу предложения 1.4 он приводим в кольце существуют такие полиномы положительной степени, что Пусть

тогда

причем

По условию,

В силу (2) и (4) только одно из чисел делится на ; пусть

По условию, Отсюда в силу (3) следует, что

Пусть — не делящийся на коэффициент полинома g с наименьшим индексом, т. е.

В силу (1) коэффициент можно представить в виде

Из (7) следует, что делит а так как не делит и то не делит причем Это противоречит условию теоремы, поскольку, по условию, делит коэффициенты

СЛЕДСТВИЕ 1.6. Если — простое число и — любое целое положительное число, то полином неприводим в кольце

Упражнения.

1. Докажите, что полином f с целыми коэффициентами не имеет целых корней, если — нечетные числа.

2. Установите, какие из следующих полиномов неприводимы над полем рациональных чисел:

3. Докажите, что полином , где — простое число, неприводим надполем рациональных чисел.

4. Докажите, что полином , где — простое число, неприводим над полем рациональных чисел.

5. Для каких целых чисел полином приводим над полем рациональных чисел?

6. Для каких целых чисел полином приводим над полем рациональных чисел?

7. Разложите полиномы на неприводимые над полем рациональных чисел множители.

8. Найдите условия приводимости полинома , где — рациональные числа, над полем рациональных чисел.

9. Докажите, что если полином f неприводим над полем рациональных чисел, то полином , где — рациональные числа и , также неприводим над полем