Наименьшее общее кратное.

Пусть — кольцо главных идеалов. Элемент с называется общим кратным элементов кольца , если с делится в на каждый из этих элементов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Наименьшим общим кратным элементов кольца называется такое их общее кратное, которое делит любое общее кратное этих элементов.

Наименьшее общее кратное элементов кольца обозначается через

Из данного определения непосредственно вытекает следующее предложение.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.8. Если есть наименьшее общее кратное элементов кольца , то множество всех общих кратных элементов совпадает с множеством всех кратных элемента .

Рассмотрим свойства наименьшего общего кратного в кольце главных идеалов Предложение 4.9 имеет место в любом коммутативном кольце.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.9. Любые два наименьших общих кратных элементов кольца ассоциированы в . Если — наименьшее общее кратное элементов ассоциировано то также является наименьшим общим кратным элементов

Это предложение непосредственно следует из определения наименьшего общего кратного.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.10. Элемент является наименьшим общим кратным элементов кольца тогда и только тогда, когда

Доказательство. Предположим, что

Тогда является общим кратным элементов Кроме того, если есть общее кратное элементов то

и, значит, кратно . Следовательно, является наименьшим общим кратным элементов

Предположим, что есть Поскольку — кольцо главных идеалов, то существует в К такой элемент что

По только что доказанному, является наименьшим общим кратным элементов По предложению ассоциировано с . Следовательно,

СЛЕДСТВИЕ 4.11. Для любого набора элементов кольца существует наименьшее общее кратное в .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.12. Для любых элементов а, b, с кольца

Доказательство. Пусть есть . Надо доказать, что есть НОК . Это, очевидно, верно при Предположим, что . Так как — общее кратное а и b, то является общим кратным Пусть — любое общее кратное элементов где

Поскольку — область целостности и с из следует Поэтому кратно , т. е. где Следовательно, в силу и, значит, кратно те. Таким образом, есть и, по предложению 4.9,

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.13. Если а и b — взаимно простые элементы кольца , то является наименьшим общим кратным элементов а, b.

Доказательство. Пусть — любое общее кратное а и b. Докажем, что кратно Так как кратно b, то где Поскольку а делит и, по условию, а и b — взаимно простые в то а делит с (см. теорему 4.7). Поэтому делит и, значит, кратно Следовательно, является наименьшим общим кратным элементов а, b.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.14. Если а, b — ненулевые элементы кольца , то

Доказательство. Пусть d есть в . Так как а, b — ненулевые элементы, то По предложению 4.12,

В силу предложения 4.6 , т. е. элементы — взаимно простые. Отсюда, по предложению 4.13, следует, что

На основании (1) и (2) заключаем, что

ТЕОРЕМА 4.15. Пусть где — попарно различные неприводимые элементы факториального кольца а — обратимые элементы кольца. Тогда имеем:

Доказательство формулы (1) аналогично доказательству предложения 11.3.8. Доказательство формулы (2) аналогично доказательству предложения 11.3.1.