Упражнения

1. Пусть — обратимые линейные операторы векторного пространства. Докажите, что есть обратимый линейный оператор и

2. Покажите, что линейные операторы векторного пространства обратимы тогда и только тогда, когда обратимы операторы

3. Пусть — обратимый оператор векторного пространства . Покажите, что есть изоморфизм У на V.

4. Пусть — линейные операторы конечномерного векторного пространства W. Покажите, что если есть тождественный оператор пространства У, то обратимы.

5. Пусть — линейные операторы векторного пространства. Покажите, что если , то

6. Пусть есть линейное отображение векторного пространства U в векторное пространство — линейное отображение V в векторное пространство Докажите, что если и , то .

7. Пусть — обратимый и — произвольный линейный оператор конечномерного векторного пространства. Покажите, что ранг

8. Докажите, что линейный оператор конечномерного векторного пространства У обратим тогда и только тогда, когда он каждую линейно независимую систему векторов пространства V переводит в линейно независимую систему векторов этого пространства»

9. Пусть от есть векторное пространство всех линейных операторов пространства V. Пусть — фиксированный и — произвольный линейный оператор пространства V. Докажите, что отображение является линейным оператором пространства . Покажите, что множество совпадает с множеством всех линейных операторов векторного пространства , если — обратимый оператор.