Упражнения
1. Пусть
суть обычные операции сложения и умножения на множестве N натуральных чисел и
-отображение множества N в N такое, что
для всякого
из N. Докажите, что h является гомоморфизмом алгебры
в алгебру 
2. Пусть
суть обычные операции сложения и умножения на множестве R действительных чисел и а — фиксированное положительное действительное число. Пусть
-отображение R в R такое, что
для всякого
из R. Докажите, что h является гомоморфизмом алгебры
в алгебру 
3. Пусть
-гомоморфизм алгебры
на алгебру
где
и
-бинарные операции. Докажите, что:
если операция f коммутативна, то и операция g коммутативна;
если операция f ассоциативна, то и операция g ассоциативна;
если
— нейтральный элемент относительно операции f, то
является нейтральным элементом относительно операции 
если элемент
симметризуем относительно операции f, то элемент
симметризуем относительно операции g; если элементы
взаимно симметричны относительно операции f, то элементы
взаимно симметричны относительно операции 
4. Пусть
-множество натуральных чисел,
Пусть
-отображение алгебры
на алгебру
такое, что для любого а; из N верно равенство
Покажите, что h является изоморфизмом.
5. Пусть
-множество действительных чисел,
-множество положительных действительных чисел,
— положительное действительное число, отличное от единицы. Пусть
-отображение алгебры
в алгебру
такое, что
для каждого
из R. Докажите, что h является изоморфизмом.
6. Пусть
-мономорфизм алгебры в и
-мономорфизм алгебры
в алгебру Докажите, что композиция
является мономорфизмом алгебры
в алгебру 
7. Приведите пример алгебры и отношения эквивалентности R на
которое не является конгруэнцией в алгебре
8. Пусть h есть гомоморфизм алгебры в алгебру
Докажите, что множество
(гомоморфный образ основного множества алгебры
) замкнуто в алгебре 
9. Пусть
—гомоморфизм алгебры в алгебру
. Докажите, что алгебра

где
является подалгеброй алгебры 
Эту алгебру называют гомоморфным образом алгебры
при гомоморфизме 
10. Пусть h — гомоморфизм алгебры
в алгебру
Докажите, что гомоморфный образ алгебры при этом гомоморфизме изоморфен фактор-алгебре
где
- конгруэнция, порожденная гомоморфизмом
.