Упражнения

1. Пусть суть обычные операции сложения и умножения на множестве N натуральных чисел и -отображение множества N в N такое, что для всякого из N. Докажите, что h является гомоморфизмом алгебры в алгебру

2. Пусть суть обычные операции сложения и умножения на множестве R действительных чисел и а — фиксированное положительное действительное число. Пусть -отображение R в R такое, что для всякого из R. Докажите, что h является гомоморфизмом алгебры в алгебру

3. Пусть -гомоморфизм алгебры на алгебру где и -бинарные операции. Докажите, что:

если операция f коммутативна, то и операция g коммутативна;

если операция f ассоциативна, то и операция g ассоциативна;

если — нейтральный элемент относительно операции f, то является нейтральным элементом относительно операции

если элемент симметризуем относительно операции f, то элемент симметризуем относительно операции g; если элементы взаимно симметричны относительно операции f, то элементы взаимно симметричны относительно операции

4. Пусть -множество натуральных чисел, Пусть -отображение алгебры на алгебру такое, что для любого а; из N верно равенство Покажите, что h является изоморфизмом.

5. Пусть -множество действительных чисел, -множество положительных действительных чисел, — положительное действительное число, отличное от единицы. Пусть -отображение алгебры в алгебру такое, что для каждого из R. Докажите, что h является изоморфизмом.

6. Пусть -мономорфизм алгебры в и -мономорфизм алгебры в алгебру Докажите, что композиция является мономорфизмом алгебры в алгебру

7. Приведите пример алгебры и отношения эквивалентности R на которое не является конгруэнцией в алгебре

8. Пусть h есть гомоморфизм алгебры в алгебру Докажите, что множество (гомоморфный образ основного множества алгебры ) замкнуто в алгебре

9. Пусть —гомоморфизм алгебры в алгебру . Докажите, что алгебра

где является подалгеброй алгебры

Эту алгебру называют гомоморфным образом алгебры при гомоморфизме

10. Пусть h — гомоморфизм алгебры в алгебру Докажите, что гомоморфный образ алгебры при этом гомоморфизме изоморфен фактор-алгебре где - конгруэнция, порожденная гомоморфизмом .

Докажите, что всякий гомоморфизм h алгебры на алгебру есть композиция естественного гомоморфизма алгебры на свою фактор-алгебру и изоморфизма этой фактор-алгебры на алгебру