§ 3. СТУПЕНЧАТЫЕ МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Ступенчатые матрицы.

Пусть

— -матрица над полем . Ведущим элементом строки матрицы называется первый (считая слева направо) ненулевой элемент строки. Столбец матрицы называется основным, если он содержит ведущий элемент какой-либо строки матрицы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрица А называется ступенчатой, если она удовлетворяет условиям:

(1) нулевые строки матрицы (если они есть) расположены ниже всех ненулевых строк;

(2) если — ведущие элементы ненулевых строк матрицы, то

Примеры ступенчатых матриц: 1) нулевая матрица, 2) однострочная матрица, 3) единичная матрица, 4) верхнетреугольная матрица

Над системой вектор-строк (столбцов) данной матрицы можно проводить элементарные преобразования.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элементарные преобразования над системой строк (столбцов) матрицы называются элементарными преобразованиями матрицы. Две матрицы называются строчечно-эквивалентными, если одна получается из другой при помощи цепочки элементарных преобразований над строками.

Отношение строчечной эквивалентности рефлексивно, симметрично и транзитивно, т. е. является отношением эквивалентности.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Строчечным рангом матрицы называется ранг системы ее строк. Столбцовым рангом матрицы называется ранг системы ее столбцов.

Из этого определения в силу теоремы 1.8 следует предложение 3.1.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.1. Если одна матрица получается из другой в результате цепочки элементарных преобразований над строками, то строчечные ранги этих матриц равны.

ТЕОРЕМА 3.2. Любая -матрица строчечно эквивалентна ступенчатой -матрице.

Доказательство (проводится индукцией по числу строк матрицы). Если число строк матрицы равно единице, то матрица ступенчатая. Предполагая, что теорема верна для матриц с строками, докажем, что тогда она верна для матриц с строками. Пусть А есть -строчная матрица:

Если в первом столбце матрицы есть элемент, отличный от нуля, то строку с этим ненулевым элементом можно переставить с первой строкой. Легко показать, что перестановка строк — результат цепочки элементарных преобразований над строками. Поэтому будем считать, что . Матрицу А можно преобразовать в матрицу В:

при помощи цепочки элементарных преобразований. Для этого первую строку матрицы А надо умножить на Затем полученную первую строку, умноженную на прибавить к строке для .

Матрица, полученная из матрицы В вычеркиванием первой строки, содержит строк и, по индуктивному предположению, строчечно эквивалентна некоторой ступенчатой -матрице С:

На основании этого и строчечной эквивалентности матриц А и В заключаем, что матрица А строчечно эквивалентна ступенчатой матрице С:

Матрица С — ступенчатая, потому что матрица С является ступенчатой.

Если первый столбец или несколько первых столбцов матрицы — нулевые, то рассмотрим матрицу, получающуюся в результате вычеркивания этих столбцов. Эта матрица содержит в первом столбце ненулевой элемент. Поэтому из первой части доказательства следует, что она строчечно эквивалентна ступенчатой матрице. Легко видеть, что, приписав слева к этой ступенчатой матрице вычеркнутые прежде нулевые столбцы, получим матрицу, строчечно эквивалентную исходной матрице .

ТЕОРЕМА 3.3. Строчечный ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.

Доказательство. Теорема, очевидно, верна для нулевой матрицы. Предположим, что — ступенчатая матрица с ненулевыми строками. Для удобства записи будем считать, что ведущие элементы матрицы расположены в первых столбцах, т. е.

где для Таким образом, первые строк матрицы ненулевые, а остальные (если они есть) — нулевые.

Покажем, что строки линейно независимы. Надо показать, что для любых скаляров из равенства

следуют равенства

Так как то из (1) следуют равенства

Поскольку при , из (3) следуют равенства (2). Таким образом, система ненулевых строк матрицы А линейно независима. Следовательно, строчечный ранг матрицы А равен . В общем случае доказательство проводится аналогично.

На основании теоремы 3.3 приходим к следующему правилу вычисления ранга матрицы. Для вычисления строчечного ранга матрицы А надо привести ее к ступенчатому виду С при помоьци цепочки элементарных преобразований над строками. Число ненулевых строк матрицы С равно строчечному рангу матрицы А.