Следствия однородной системы линейных неравенств.

Для доказательства теоремы Минковского необходимы следующие две леммы.

ЛЕММА 1.4. Если

то неравенство

не является следствием системы

Доказательство. Ранг системы векторов обозначим через . Предположим, что выполняется условие (3), тогда

Пусть

Рассмотрим систему линейных уравнений

На основании (4) заключаем, что ранги основной и расширенной матриц системы (5) равны . Следовательно, система (5) совместна. Поэтому существует вектор такой, что

Вектор является решением системы (1), не удовлетворяющим (2). Таким образом, неравенство (2) не является следствием системы (1).

СЛЕДСТВИЕ 1.5. Если неравенство (2) есть следствие системы (1), то

По закону контрапозиции, это утверждение равносильно лемме 1.4.

ЛЕММА 1.6. Пусть неравенство

есть следствие системы

и

Тогда неравенство (2) является следствием системы

Доказательство. Рассмотрим систему

Вектор с в силу (3) есть неотрицательная линейная комбинация векторов

В силу предложения 1.1 отсюда следует, что (2) является следствием системы (II):

Надо доказать, что любое решение системы (4) является решением неравенства (2). Возможны два случая: или . Если 0, то есть решение системы (1) и, следовательно, по условию, является решением неравенства (2). Если же , то есть решение системы (1'); следовательно, ввиду (4) является решением и неравенства (2). Итак, любое решение системы (4) является решением неравенства (2).