Факториальность кольца полиномов.

Докажем основную теорему этого параграфа.

ТЕОРЕМА 3.7. Если кольцо факториально, то и кольцо полиномов факториально.

Доказательство. Пусть — факториальное кольцо. Докажем, что любой отличный от нуля необратимый элемент кольца однозначно с точностью до порядка сомножителей и обратимых множителей разложим в произведение простых множителей Сначала докажем возможность разложения на простые множители. Пусть f — произвольный ненулевой полином из Если f — полином нулевой степени, то Поскольку кольцо факториально, полином f можно представить в виде произведения простых множителей в и, значит, в Предположим, что и всякий полином, степень которого меньше , разложим в произведение простых множителей. Пусть

где — полином положительной степени, примитивный в Если полином g неприводим над , то, разлагая в (1) множитель d на простые множители, получим разложение f на простые множители. Если же полином приводим в то его можно представить в виде произведения двух полиномов положительной степени, меньшей, чем По индуктивному предположению, можно представить в виде произведения простых множителей в Следовательно, g, а в силу (1) и f также можно представить в виде произведения простых множителей.

Докажем единственность разложения. Пусть даны любые два разложения f на простые множители в

где — неприводимые, а значит, и примитивные полиномы положительной степени.

По леммам 3.2 и 3.4, из (2) следует, что

Поскольку кольцо факториально, то из (3) следует, что k — r и при соответствующей нумерации

Далее, по следствию 3.6, полиномы неприводимы в кольце . В силу факториальности кольца из (4) следует, что и при соответствующей нумерации

Полиномы неприводимы в и, значит, примитивны в кроме того, эти полиномы ассоциированы в Следовательно, по лемме 3.3, они ассоциированы в

В силу (5) и (6) полином f обладает однозначным разложением на простые множители в кольце Итак, показано, что кольцо факториально.

Упражнения

1. Приводим или неприводим полином в кольце в кольце в кольце

2. Приводим или неприводим полином в кольце в кольце

3. Всякий неприводимый в кольце полином является примитивным в Верно ли обратное утверждение?