Наименьшее значение модуля полинома.

Ниже будет нужна следующая известная из анализа теорема Больцано—Вейерштрасса: всякая бесконечная последовательность точек круга ( — фиксированное положительное действительное число) обладает подпоследовательностью, сходящейся к некоторой точке этого круга.

ТЕОРЕМА 1.4. Пусть f — полином из — положительное действительное число и Тогда существует такое комплексное число а, что

Доказательство. Пусть — последовательность положительных действительных чисел, сходящаяся к нулю.

Так как то для каждого члена последовательности существует такое что

Поэтому последовательность сходится к :

В силу (1) все элементы последовательности принадлежат кругу . По теореме Больцано — Вейерштрасса, эта последовательность обладает подпоследовательностью сходящейся к некоторой точке а круга , т. е.

По теореме 1.3, из (3) следует, что

Так как есть подпоследовательность последовательности которая сходится к , то

На основании (3), (4) и (5) заключаем, что

ТЕОРЕМА 1.5. Модуль любого полинома из достигает своего наименьшего значения на множестве С.

Доказательство. Теорема, очевидно, верна, если или Поэтому предположим, что . Положим . По теореме 1.1,

Пусть По теореме достигает наименьшего значения в круге К, т. е. существует число а такое, что

На основании (1) и (3) заключаем, что

В силу (2) и (4) имеем . Таким образом, достигает на множестве С наименьшего значения в точке а.