Упражнения

1. Пусть — упорядоченное поле и Докажите, что тогда:

(g) если хотя бы одно из чисел с отлично от нуля, то

2. Пусть а, b — элементы упорядоченного поля Докажите, что в существует такой элемент с, что а С с с b.

3. Докажите, что уравнение не имеет решений в поле рациональных чисел.

4. Докажите, что для любого положительного действительного числа а уравнение имеет решение в поле действительных чисел.

5. Покажите, что уравнение не имеет решений в поле действительных чисел.

6. Пусть — множество всех положительных действительных чисел. Докажите, что алгебра является группой; она называется мультипликативной группой положительных действительных чисел.

7. Пусть a, b, с и d — положительные действительные числа. Докажите, что тогда и только тогда, когда для любых целых положительных чисел .

8. Докажите, что тождественное отображение является единственным изоморфизмом поля действительных чисел в себя.

9. Докажите, что алгебраическая система, изоморфная системе действительных чисел, является системой действительных чисел.

10. Пусть — множество всех последовательностей рациональных чисел. Покажите, что алгебра , где

где для всякого натурального является коммутативным кольцом.

11. Пусть - множество всех фундаментальных последовательностей над полем . Покажите, что замкнуто в кольце всех последовательностей рациональных чисел и алгебра является коммутативным кольцом.

12. Пусть означает, что последовательность сходится к нулю. Докажите, что:

(a) отношение множестве есть отношение эквивалентности;

(b) отношение является отношением конгруэнтности в кольце

13. Покажите, что если для всех и последовательность не сходится к нулю, то

14. Докажите, что фактор-алгебра кольца по отношению конгруэнтности является полем.

15. Пусть -множество Докажите, что система есть архимедовски упорядоченное поле.

16. Докажите, что в системе всякая фундаментальная последовательность элементов множества F сходится к элементу из