Неравенства Чебышева.

Выше (см. неравенство (8)) было получено неравенство

и доказано равенство

Если , то . Поэтому из равенства следует, что Отсюда и из (2) имеем:

В силу (2) и (3)

Из этого неравенства выводим, заменяя последовательно

Суммируя левые части неравенств получаем:

Сумма правых частей неравенств будет меньше так как число неравенств не превышает . Таким образом, приходим к неравенству

откуда

При этом найденное неравенство имеет место для любого

Выше было доказано неравенство

Кроме того, так как имеем

Таким образом, Следовательно, для любого

т. е. получена нижняя граница нужного вида для Таким образом, доказана следующая теорема.

ТЕОРЕМА 5.2. Для всех имеем:

П. Л. Чебышев в 1850 г. доказал более точные неравенства. Он доказал, что для достаточно больших выполняются неравенства

При доказательстве этих неравенств Чебышев вместо рассматривал более сложное выражение:

В 1851 г. Чебышев обосновал предположение о зависимости между

так что если предел отношения существует, то он должен быть равен 1.

Центральным результатом в теории чисел является асимптотический закон распределения простых чисел, впервые доказанный в 1896 г. Адамаром и Валле-Пуссеном.

Этот закон гласит, что отношение стремится к 1 при неограниченном возрастании х, т. е.