ЕГЭ и ОГЭ
Хочу знать
Главная > Математика > Алгебра и теория чисел
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Упражнения

1. С точки зрения наличия свойств рефлексивности, антирефлексивности, симкетричности, антисимметричности, транзитивности рассмотрите следующие отношения:

2. Приведите примеры бинарных отношений:

(a) рефлексивных и транзитивных, ко не антисимметричных;

(b) транзитивных и симметричных, но не рефлексивных;

(c) рефлексивных и транзитивных, но не симметричных;

(d) рефлексивных и симметричных, но не транзитивных.

3. Пусть . Докажите, что:

(a) R рефлексивно на множестве А тогда и только тогда, когда

(b) R симметрично тогда и только тогда, когда ;

(c) R транзитивно тогда и только тогда, когда

4. Докажите, что симметричное и антисимметричное бинарное отношение R является транзитивным.

5. Найдите все фактор-множества множества

6. Покажите, что множество {1, 2, 3, 4} имеет 15 различных фактор-множеств.

7. Докажите, что если R есть транзитивное и симметричное бинарное отношение на множестве А, где А — область отношения R, то R является эквивалентностью на А.

8. Докажите, что бинарное отношение R с областью определения тогда и только тогда является отношением эквивалентности на , когда

9. Докажите, что если R есть отношение эквивалентности на множестве , то R также есть отношение эквивалентности на .

10. Докажите, что пересечение любой совокупности отношений эквивалентности на множестве есть отношение эквивалентности на множестве .

11. Докажите, что для любого непустого множества М существует инъективное отображение множества всех разбиений множества М на множество всех отношений эквивалентности на М.

12. Докажите, что фактор-множество множества целых чисел Z по отношению сравнения по модулю имеет ровно элементов.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление