Упражнения
1. С точки зрения наличия свойств рефлексивности, антирефлексивности, симкетричности, антисимметричности, транзитивности рассмотрите следующие отношения:
2. Приведите примеры бинарных отношений:
(a) рефлексивных и транзитивных, ко не антисимметричных;
(b) транзитивных и симметричных, но не рефлексивных;
(c) рефлексивных и транзитивных, но не симметричных;
(d) рефлексивных и симметричных, но не транзитивных.
3. Пусть . Докажите, что:
(a) R рефлексивно на множестве А тогда и только тогда, когда
(b) R симметрично тогда и только тогда, когда ;
(c) R транзитивно тогда и только тогда, когда
4. Докажите, что симметричное и антисимметричное бинарное отношение R является транзитивным.
5. Найдите все фактор-множества множества
6. Покажите, что множество {1, 2, 3, 4} имеет 15 различных фактор-множеств.
7. Докажите, что если R есть транзитивное и симметричное бинарное отношение на множестве А, где А — область отношения R, то R является эквивалентностью на А.
8. Докажите, что бинарное отношение R с областью определения тогда и только тогда является отношением эквивалентности на , когда
9. Докажите, что если R есть отношение эквивалентности на множестве , то R также есть отношение эквивалентности на .
10. Докажите, что пересечение любой совокупности отношений эквивалентности на множестве есть отношение эквивалентности на множестве .
11. Докажите, что для любого непустого множества М существует инъективное отображение множества всех разбиений множества М на множество всех отношений эквивалентности на М.
12. Докажите, что фактор-множество множества целых чисел Z по отношению сравнения по модулю имеет ровно элементов.