Смежные классы.

Пусть — подгруппа группы На множестве G введем бинарное отношение тогда и только тогда, когда ; назовем его отношением сравнения по подгруппе

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.4. Пусть подгруппа группы Отношение сравнения на G по подгруппе является отношением эквивалентности.

Доказательство. Так как то т. е. отношение сравнения по рефлексивно. Поскольку из следует , то из , следует , — отношение сравнения по симметрично. Далее, для любых элементов а, b, с из G, если , то . Следовательно, если , то отношение сравнения по транзитивно. Таким образом, отношение сравнения по является отношением эквивалентности.

ПРИМЕР. Пусть — аддитивная группа векторного пространства — подпространство пространства и — его аддитивная группа. Рассмотрим на V бинарное отношение тогда и только тогда, когда называемое отношением сравнения векторов из V по направлению X. Это отношение является отношением эквивалентности на V. Классы эквивалентности называются линейными многообразиями пространства с направлением .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Классы эквивалентности отношения сравнения по подгруппе называются правыми смежными классами группы по подгруппе

Отметим основные свойства смежных классов.

СВОЙСТВО 2.1. Любые два правых смежных класса группы по подгруппе либо совпадают, либо не пересекаются. Множество G является объединением всех правых смежных классов группы по подгруппе

Это свойство непосредственно следует из теоремы 2.4.1 Пусть Обозначим через множество, определяемое равенством

СВОЙСТВО 2.2. Если то является правым смежным классом группы по подгруппе

Доказательство. Пусть А — правый смежный класс группы по подгруппе содержащий g. Докажем, что . Пусть — любой элемент из Тогда . Поэтому . Обратно: если , то Поэтому Следовательно,

СВОЙСТВО 2.3. Пусть А — правый смежный класс группы по подгруппе и , тогда

Доказательство. Смежные классы А и имеют общий элемент g. По свойству 2.1, они совпадают, т. е.

СВОЙСТВО 2.4. Пусть — конечная подгруппа группы Тогда число элементов смежного класса равно числу элементов множества Н.

Доказательство. Пусть — число элементов множества Тогда при , так как из по закону сокращения, следовало бы равенство Следовательно, число элементов множества равно .

Пусть — подгруппа группы На множестве G введем бинарное отношение следующим образом:

тогда и только тогда, когда назовем его отношением левого сравнения по подгруппе Непосредственная проверка показывает, что это отношение есть эквивалентность на множестве G. Классы эквивалентности этого отношения называются левыми смежными классами группы по подгруппе Нетрудно проверить, что левые смежные классы обладают свойствами, аналогичными свойствам