Разложение полинома по степеням разности х - с.

При делении полинома на двучлен вида — с вычисления удобнее всего располагать по следующей схеме (называемой схемой Горнера):

Очевидно, любой же следующий коэффициент частного и остаток вычисляются по формулам

Эти формулы получаются из равенства

если раскрыть скобки и, сделав приведение подобных членов, приравнять друг другу коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях равенства.

Схема Горнера удобна при разложении данного полинома f по степеням двучлена

Пусть

где обозначают частное и остаток, полученные при делении на . Если последнее выражение в (1) для подставить в предыдущее равенство, а затем то, что при этом получится, подставить вместо и т. д., то придем к равенству

Это есть разложение данного полинома f по степеням Дифференцируя обе части равенства (2) и полагая получим

Поэтому равенство (2) можно записать в виде

если только f — полином над полем нулевой характеристики. Это и есть формула Тейлора для полиномов. Деление по схеме Горнера f на дает коэффициенты частного которое в свою очередь надо делить на х - с и т. д.; все вычисления удобно расположить в одну таблицу: