Упражнения

1. Выясните, какие из следующих множеств действительных чисел являются полями относительно обычных операций над ними:

все натуральные числа;

все рациональные числа с нечетными знаменателями;

все числа вида с рациональными а и b;

все числа вида с рациональными а и b;

все числа вида с рациональными а и

все числа вида с рациональными а, b и с.

2. Пусть К—множество всех матриц вида с рациональными а и b. Докажите, что алгебра , где суть операции над матрицами является полем. Покажите, что это поле содержит такой элемент что .

3. Пусть -множество всех матриц вида с рациональными а и b. Докажите, что алгебра , где является полем. Покажите, что отображение является изоморфизмом поля на поле

4. Какие из колец являются полями?

5. Докажите, что поле не имеет делителей нуля.

6. Покажите, что каждое подкольцо поля является областью целостности.

7. Пусть а — ненулевой элемент поля. Докажите, что для любых целых чисел тип выполняются равенства

8. Пусть а, b и с — любые элементы поля S. Докажите, что из равенства следует тогда и трлько тогда, когда

9. Докажитее что пересечение любой совокупности подполей поля есть подполе поля

10. Докажите, что любая конечная область целостности является полем.

11. Покажите, что поле рациональных чисел не имеет подполей, отличных от

12. Докажите, что любое подполе поля есть либо либо

13. Опишите все подкольца поля рациональных чисел.

14. Пусть есть кольцевой гомоморфизм поля в поле . Покажите, что образ поля при отображении является подлолем поля

15. Докажите, что кольцевой гомоморфизм поля есть либо нулевое отображение, либо изоморфизм поля S на его образ.

16. Пусть есть кольцевой гомоморфизм. Если S — поле, , то докажите.

17. Докажите, что тождественное отображение является единственным автоморфизмом поля рациональных чисел.

18. Покажите, что любое поле, состоящее из двух элементов, изоморфно полю

19. Докажите, что кольцо, изоморфное полю, само является полем.

20. Покажите, что не существует гомоморфизмов кольца в поле

21. Докажите, что алгебра, изоморфная полю, сама является полем.

22. Покажите, что поле частных поля 3: изоморфно

23. Докажите, что поле частных кольца изоморфно полю

24. Пусть — изоморфные области целостности. Докажите, что изоморфны поля частных этих колец.