Система действительных чисел.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Упорядоченное поле называется архимедовски упорядоченным, если для любых положительных элементов а и поля существует такое натуральное число , что

Пусть бесконечная последовательность элементов упорядоченного поля . Ее обозначают также через или

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элемент а упорядоченного поля называется пределом последовательности элементов поля, если для каждого положительного элемента поля существует (зависящее от ) натуральное число такое, что для любого натурального

Последовательность имеющая предел в поле называется сходящейся в этом поле.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность элементов упорядоченного поля называется фундаментальной над если для каждого положительного элемента 8 поля существует (зависящее от ) натуральное число такое, что для любых натуральных k и , больших, чем

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Упорядоченное поле называется полным, если всякая фундаментальная последовательность элементов поля сходится в этом поле.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Системой действительных чисел называется полное архимедовски упорядоченное поле.

Пусть — система действительных чисел. Тогда алгебра есть поле, называемое полем действительных чисел. Множество R называется множеством действительных чисел.

Можно доказать, что любые две системы действительных чисел изоморфны. Следовательно, изоморфны любые два поля действительных чисел.

ТЕОРЕМА 6.3. Для любых действительных чисел при существует целое число и действительное число такие, что

Доказательство. 1°. Если то полагаем Предположим, что 0. Множество

натуральных чисел не пусто, поскольку система действительных чисел архимедовски упорядочена. Так как множество натуральных чисел вполне упорядочено и М — непустое подмножество множества N, то в М существует наименьший элемент. Пусть — наименьший элемент множества М, тогда

Полагая , получим

2°. Предположим, что Тогда, по доказанному в п. 1°, для положительных чисел и b существуют натуральное число k и действительное число s такие, что

Следовательно, . Если , то мы имеем искомое представление. Если же , то

Полагая имеем

Пусть — натуральное число, отличное от нуля. Введем понятие арифметического корня степени из положительного действительного числа. Предварительно докажем следующую теорему.

ТЕОРЕМА 6.4. Для любого положительного числа а существует единственное положительное действительное число с такое, что

Доказательство. Рассмотрим функцию определенную на замкнутом интервале , где Функция f непрерывна на этом интервале и на его концах принимает значения разных знаков, так как Применим теорему о промежуточном значении к функции f на интервале По этой теореме, существует действительное число , для которого и, значит,

Очевидно, Предположим, что для какого-нибудь положительного числа d. Если при этом , то , что противоречит (1). Если же , то , что также противоречит (1). Следовательно,

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть а — положительное действительное число и — натуральное число, отличное от нуля. Единственное положительное действительное число с такое, что называется арифметическим или главным корнем степени из а и обозначается символом или . Построение системы действительных чисел. Последовательность рациональных чисел будем обозначать через или На множестве всех последовательностей рациональных чисел определим бинарные операции унарную операцию и нульместную операцию I:

где для всякого натурального

Обозначим через множество всех фундаментальных последовательностей над полем рациональных чисел. Если — произвольные элементы множества , то последовательности также принадлежат множеству Следовательно, множество замкнуто относительно операций Нетрудно проверить, что алгебра является коммутативным кольцом.

На множестве введем бинарное отношение тогда и только тогда, когда последовательность сходится к нулю.

Отношение рефлексивно, транзитивно и симметрично, т. е. является отношением эквивалентности на множестве Условимся обозначать символом класс эквивалентности, которому принадлежит последовательность Множество всех классов эквивалентности обозначим через

Нетрудно показать, что отношение является отношением конгруэнтности в кольце Это дает возможность определить на множестве F операции следующим образом:

Алгебра есть фактор-алгебра кольца по отношению конгруэнтности Можно доказать, что алгебра является полем.

На множестве введем отношение порядка: для любых из полагаем

если существуют натуральное число По и положительное рациональное число такие, что для всякого

Бинарное отношение является отношением конгруэнтности относительно т. е. для любых из , если

то

Это дает возможность ввести на множестве F отношение порядка: для любых из F полагаем

Можно доказать, что система есть архимедовски упорядоченное поле и всякая фундаментальная последовательность над полем сходится к элементу этого поля. Таким образом, поле «Г является полем действительных чисел.