Изоморфизм векторных пространств.

Отображением векторного пространства U в называется отображение множества U в V.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Отображение векторного пространства U на векторное пространство называется изоморфизмом, если оно инъективно и удовлетворяет условиям линейности:

для любых а, b из U и любого А из F. Векторные пространства U и называются изоморфными, если существует изоморфизм U на

Другими словами, отображение f векторного пространства U и называется изоморфизмом, если оно инъективно и сохраняет главные операции пространства U, рассматриваемого как алгебра.

Запись означает, что векторные пространства U и изоморфны.

ТЕОРЕМА 4.2. Пусть — -мерное векторное пространство над полем Тогда пространство изоморфно арифметическому векторному пространству Доказательство. Пусть

— фиксированный базис пространства Пусть

— отображение, ставящее в соответствие каждому вектору а из V его координатную строку относительно фиксированного базиса. Пусть — произвольный вектор из Вектор является его прообразом при отображении f. Следовательно, f есть отображение V на Кроме того, по теореме 4.1, для любых а, b из V, если то .

Следовательно, является инъективным отображением V на . Отображение удовлетворяет условиям линейности. В самом деле, если то

и

Далее, если то и

Итак, f удовлетворяет условиям линейности. Следовательно, отображение f является изоморфизмом пространства на пространство

ТЕОРЕМА 4.3. Пусть есть -мерное векторное пространство над полем с фиксированным базисом и Отображение ставящее в соответствие каждому вектору а из V его координатную строку относительно фиксированного базиса, является изоморфизмом пространства на арифметическое векторное пространство

Эта теорема непосредственно следует из теоремы 4.2 и ее доказательства.

СЛЕДСТВИЕ 4.4. Пусть — ненулевое конечномерное векторное пространство с фиксированным базисом. Система векторов пространства линейно зависима тогда и только тогда, когда линейно зависима система координатных строк (столбцов) этих векторов относительно фиксированного базиса.

СЛЕДСТВИЕ 4.5. Пусть — конечномерное векторное пространство с фиксированным базисом. Ранг системы векторов пространства равен рангу матрицы, составленной из координатных строк (столбцов) этих векторов относительно фиксированного базиса.

Рассмотрим свойства изоморфизмов векторных пространств.

СВОЙСТВО 4.1. Если f — изоморфизм векторного пространства U на и g — изоморфизм пространства на W, то их композиция является изоморфизмом 21 на

Доказательство. Из условия следует, что есть инъективное отображение U на W. Отображение удовлетворяет условиям линейности.

В самом деле, в силу линейности отображений g и для любых а, b из V и любого из F имеем:

Следовательно, является изоморфизмом U на СВОЙСТВО 4.2. Если f — изоморфизм векторного пространства U на векторное пространство , то является изоморфизмом на

Доказательство. Так как f — инъективное отображение U на V, то является инъективным отображением V на U. Кроме того, удовлетворяет условиям линейности. В самом деле, в силу линейности отображения f для любого а из V и любого X из F имеем:

откуда

Следовательно, является изоморфизмом на U. СВОЙСТВО 4.3. Отношение изоморфизма на каком-либо множестве векторных пространств над полем является отношением эквивалентности.

Доказательство. Отношение изоморфизма, очевидно, рефлексивно. В силу свойства 4.1 оно транзитивно. В силу свойства 4.2 отношение изоморфизма симметрично. Следовательно, отношение изоморфизма является отношением эквивалентности.

СВОЙСТВО 4.4. Пусть

— базис векторного пространства U и f — изоморфизм U на векторное пространство Тогда система векторов является базисом пространства Доказательство. Система векторов

линейно независима. В самом деле, в силу линейности отображения f для любых из F равенство

где — нулевой вектор пространства влечет равенства

В силу инъективности отображения f из последнего равенства следует, что

Так как система (1) линейно независима, то из (3) следуют равенства

Кроме того, система (1) порождает пространство . В самом деле, если , то вектор и его можно представить в виде

так как система (1) есть базис пространства . В силу линейности отображения из (4) следуют равенства

Следовательно, система (2) порождает пространство и является его базисом.

ТЕОРЕМА 4.6. Пусть — конечномерные векторные пространства над полем . Пространства и v изоморфны тогда и только тогда, когда равны их размерности.

Доказательство. Предположим, что Если одно из этих пространств нулевое, то нулевым будет и другое, т. е. Предположим теперь, что и — ненулевые пространства. Тогда, по свойству 4.4, число элементов базиса пространства равно числу элементов базиса пространства (равны размерности этих пространств).

Теперь предположим, что . Если , то пространства — нулевые и поэтому изоморфны. Если же то, по теореме 4.2, . В силу транзитивности изоморфизма отсюда следует, что векторные пространства и изоморфны.