Фактор-группа.

Пусть — мультипликативная группа и Определим произведение А В множеств А я В формулой

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.1. Пусть — нормальный делитель группы S и — множество всех смежных классов группы S по подгруппе

Произведение любых двух смежных классов есть смежный класс, причем

Доказательство. Пусть , где — любые элементы из соответственно. Тогда , поскольку Поэтому

следовательно,

Докажем обратное включение. Пусть . Тогда Поэтому следовательно,

На множестве определим операции формулами

и рассмотрим алгебру

ТЕОРЕМА 4.2. Пусть — нормальный делитель группы Алгебра является группой.

Доказательство. Пусть Операции в определяются равенствами

Операция умножения смежных классов ассоциативна. В самом деле, если то в силу (1)

Следовательно, для любых А, В, С из

Элемент из является единичным относительно умножения, так как для любого А из . В силу для любого элемента А из Следовательно, алгебра является группой.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Алгебра называется факторгруппой группы по подгруппе

Примеры. 1. Пусть — аддитивная группа целых чисел, — фиксированное натуральное число и

Тогда

Алгебра является фактор-группой группы по подгруппе

2. Пусть — симметрическая группа подстановок степени и — ее подгруппа четных подстановок. Тогда фактор-группа есть циклическая группа второго порядка, так как где а — какая-нибудь нечетная подстановка.