Произведение любых двух смежных классов
есть смежный класс, причем

Доказательство. Пусть
, где
— любые элементы из
соответственно. Тогда
, поскольку
Поэтому

следовательно, 
Докажем обратное включение. Пусть
. Тогда
Поэтому
следовательно, 
На множестве
определим операции
формулами

и рассмотрим алгебру

ТЕОРЕМА 4.2. Пусть
— нормальный делитель группы
Алгебра
является группой.
Доказательство. Пусть
Операции в
определяются равенствами

Операция умножения смежных классов ассоциативна. В самом деле, если
то в силу (1)

Следовательно,
для любых А, В, С из 
Элемент
из
является единичным относительно умножения, так как
для любого А из
. В силу
для любого элемента А из
Следовательно, алгебра
является группой.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Алгебра
называется факторгруппой группы
по подгруппе 
Примеры. 1. Пусть
— аддитивная группа целых чисел,
— фиксированное натуральное число и 