Необходимые и достаточные условия равенства нулю определителя.

Как показывают следующие две теоремы, существуют различные эквивалентные между собой условия равенства нулю определителя.

ТЕОРЕМА 5.9. Определитель квадратной матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда строки (столбцы) матрицы линейно зависимы.

Доказательство. Пусть . Докажем, что если строки матрицы А линейно независимы, то . В самом деле, если строки матрицы А линейно независимы, то, по теореме 2.8, ее можно представить в виде произведения элементарных матриц, т. е. По следствию Кроме того, по лемме 5.5, определитель любой элементарной матрицы отличен от нуля. Следовательно, . По закону контрапозиции, доказанное сейчас утверждение равносильно утверждению: если то строки матрицы А линейно зависимы.

Докажем теперь обратное утверждение: если строки квадратной матрицы А линейно зависимы, то . В самом деле, если первая строка матрицы А — ненулевая, то хотя бы одна из строк является линейной комбинацией других строк этой матрицы. Следовательно, по свойству 4.7 определителей,

ТЕОРЕМА 5.10. Для любой квадратной матрицы А равносильны следующие четыре утверждения:

(а)

(b) строки (столбцы) матрицы А линейно независимы,

(c) матрица А обратима,

(d) матрица А представима в виде произведений, элементарных матриц.

Эта теорема непосредственно следует из теорем 5.9 и 2.8.

Упражнения

1. Пусть А и С — квадратные матрицы, Докажите, что

2. Докажите, что а b с

где — различные корни третьей степени из единицы.

3. Вычислите определитель

4. Докажите, что

5. Пользуясь только определением определителя, вычислите определитель треугольной матрицы А:

6. Сколько квадратных подматриц порядка имеет -матрица?