§ 3. ГРУППЫ

Понятие группы.

Одним из частных случаев алгебр являются группы, которые играют большую роль в математике и ее приложениях.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Алгебра типа (2, 1) называется группой, если ее главные операции удовлетворяют условиям (аксиомам):

(1) бинарная операция ассоциативна, т. е. для любых элементов а, b, с из ;

(2) в G имеется правый нейтральный элемент относительно операции т. е. такой элемент , что для всякого элемента а из

(3) для любого элемента а из

Таким образом, группа — это непустое множество с двумя операциями на нем — бинарной операцией и унарной операцией причем бинарная операция ассоциативна и обладает правым нейтральным элементом, а унарная операция есть операция перехода к правому симметричному элементу относительно бинарной операции и, значит, каждый элемент группы имеет правый симметричный ему элемент относительно, бинарной операции группы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Группа называется абелевой или коммутативной, если бинарная операция группы коммутативна, т. е. для любых а, b из

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Порядком группы называется число элементов основного множества G группы, если G конечно. Если G — бесконечное множество, то группу называют группой бесконечного порядка.

При изучении групп обычно используется мультипликативная или аддитивная форма записи главных операций группы. При мультипликативной записи бинарную операцию группы называют умножением и пишут вместо , называя элемент произведением элементов а и b. Элемент, симметричный а, обозначают а 1 и называют обратным элементу а. Нейтральный элемент относительно умножения обозначают через или и называют единичным элементом или единицей группы.

При мультипликативной записи приведенное выше определение группы формулируется следующим образом.

Алгебра типа (2,1) называется группой, если ее главные операции удовлетворяют условиям:

(1) бинарная операция ассоциативна, т. е. для любых элементов а, b, с из G верно равенство

(2) в G имеется правая единица, т. е. такой элемент , что — а для всякого элемента а из

(3) для любого элемента а из G выполняется равенство

Понятие натуральной степени элемента а мультипликативной группы определяется следующим образом:

При аддитивной записи бинарную операцию группы называют сложением и пишут вместо а b, называя элемент суммой элементов а и b. Элемент, симметричный элементу а, обозначают и называют противоположным элементу а. Нейтральный элемент относительно сложения обозначают символом 0 или и называют нулевым элементом или нулем группы. При аддитивной записи определение группы формулируется следующим образом.

Алгебра типа (2,1) называется группой, если ее главные операции удовлетворяют условиям:

(1) бинарная операция ассоциативна, т. е. для любых элементов а, b, с из G имеем

(2) в G имеется правый нуль, т. е. такой элемент О, что а для всякого элемента а из

(3) для любого элемента а из G а