Система натуральных чисел.

Рассмотрим аксиоматический подход введения натуральных чисел.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Системой натуральных чисел называется алгебра , состоящая из некоторого множества N, выделенных в N элементов 0 и 1, бинарных операций (называемых сложением и умножением соответственно), удовлетворяющих следующим условиям (аксиомам):

I. Для любого из

II. Для любых из N, если , то

III. Для любого из

IV. Для любых тип

V. Для любого из

VI. Для любых из т.

VII. Если А — подмножество множества N такое, что для любого , если , то , тогда

Приведенную систему аксиом называют системой аксиом Пеана, так как она представляет собой несущественное изменение аксиоматики, предложенной итальянским математиком Пеано.

Условие I означает, что элемент 0 нельзя представить в виде суммы какого-нибудь элемента из N и элемента 1. Условие II означает, что элемент 1 является регулярным слева относительно сложения. Условие III означает, что 0 есть правый нейтральный элемент относительно сложения. Условие IV есть слабая форма ассоциативности сложения.

Условие VI есть слабая форма дистрибутивности умножения относительно сложения. Условие VII называется аксиомой математической индукции. Из этой аксиомы вытекает, что любое подмножество множества N, содержащее О,

1 и замкнутое относительно сложения, совпадает с множеством N. Таким образом, из аксиомы математической индукции следует, что единственной подалгеброй алгебры является сама алгебра

Элементы множества N называются натуральными числами. Элементы 0 и 1 называются соответственно нулем и единицей системы

Для записи чисел используется обычная десятичная символика:

Возникает вопрос: существует ли хотя бы одна система натуральных чисел, т. е. алгебра типа (2, 2, 0, 0), удовлетворяющая аксиомам I—VII? Следующий пример дает положительный ответ на поставленный вопрос.

Рассмотрим множество N в однобуквенном алфавите . Раньше уже были определены операции над словами алфавита . Пустое слово 0 и слово играют роль нуля и единицы соответственно в алгебре:

Эта алгебра удовлетворяет системе аксиом I—VII. В самом деле, для любого из N слово не является пустым; следовательно, значит выполнено условие I. Поскольку для любых m, N из графического равенства слов следует графическое равенство слов то выполнено и условие II. Композиция любого слова из N и пустого слова 0 есть слово т. е. выполнено условие III. Из свойства ассоциативности композиции слов следует выполнение условия IV. Выполнение условия V непосредственно следует из определения операции умножения слов. Из графического равенства слов

следует равенство , т. е. условие VI также выполняется. Наконец, интуитивно ясно, что в алгебре выполняется аксиома индукции: если множество A a N такое, что (а) для каждого , если , то и , тогда

В самом деле, обозначим через предикат ; запишем цепочку верных в силу для любого импликаций:

Так как истинно, то из первой импликации следует истинность ; из истинности и второй импликации следует истинность и т. д. Через шагов мы получим истинность для любого из