Подалгебры.

Пусть - -местная операция на множестве А и В — непустое подмножество множества А. В соответствии с понятием ограничения функции множеством говорят, что -местная операция g на В является ограничением операции множеством В, если

В частности, нульместная операция g на В является ограничением нульместной операции Д на А множеством В, если т. е. если выделяют в В и А соответственно один и тот же элемент. Ограничение операции множеством В будем обозначать символом .

Пусть — однотипные алгебры.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Алгебра называется подалгеброй однотипной ей алгебры если и тождественное отображение множества В в А является мономорфизмом алгебры в алгебру , т. е. для каждой главной операции алгебры

где — ранг операции , а — главная операция алгебры , соответствующая .

Напомним, что под тождественным отображением множества В в А понимается такое отображение h, что для любого элемента b из В.

Легко показать, что данное выше определение подалгебры эквивалентно следующему. Алгебра называется подалгеброй однотипной ей алгебры если В и А и каждая главная операция алгебры является ограничением соответствующей операции алгебры множеством В.

Запись означает, что алгебра есть подалгебра алгебры

Пусть — алгебра и .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Подмножество В множества называется замкнутым в алгебре если В замкнуто относительно каждой главной операции алгебры , т. е.

где — ранг операции . Если — нульместная операция, то условие (1) принимает вид

Очевидно, если то множество замкнуто в алгебре

Из данных выше определений непосредственно вытекает следующая теорема.

ТЕОРЕМА 2.6. Пусть — алгебра и В — непустое подмножество множества А, замкнутое в алгебре Тогда алгебра

является подалгеброй алгебры

Поскольку замкнутое в алгебре непустое подмножество В множества однозначно (указанным выше образом) определяет подалгебру , то вместо записи (2) для этой подалгебры употребляют запись

Примеры. 1. Пусть (сложение и умножение) — обычные арифметические операции на множестве Z целых чисел и N — множество натуральных чисел. Тогда алгебра является подалгеброй алгебры

2. Пусть — множество всех подмножеств непустого множества и суть соответственно операции пересечения, объединения и дополнения. Алгебра является подалгеброй алгебры

ТЕОРЕМА 2.7. Если — подалгебра алгебры подалгебра алгебры то является подалгеброй алгебры

Доказательство. Пусть . Тогда и

где — произвольная главная операция алгебры и — ее ранг, а — соответствующая ей операция алгебры . Далее, если , то и

где — главная операция алгебры , соответствующая операции Поэтому и в силу (1), (2)

Следовательно, является подалгеброй алгебры

ТЕОРЕМА 2.8. Бинарное отношение («быть подалгеброй») на множестве подалгебр алгебры является отношением нестрогого порядка.

Доказательство. Тождественное отображение множества на есть мономорфизм алгебры на Следовательно, , т. е. отношение рефлексивно. В силу теоремы 2.7 отношение -3 транзитивно.

Покажем, что отношение Н антисимметрично. Предположим, что подалгебры и алгебры удовлетворяют условиям

Тогда и, значит,

Далее, в силу (1) для произвольной главной операции алгебры

из , где — ранг операции силу (2) и (3) (4) — для любой главной операции алгебры

На основании (2) и (4) заключаем, что Следовательно, отношение антисимметрично.

Итак, установлено, отношение рефлексивно, транзитивно и антисимметрично, значит оно является отношением нестрогого порядка.

ТЕОРЕМА 2.9. Пересечение произвольной совокупности подмножеств множества замкнутых в алгебре является множеством, замкнутым в алгебре

Доказательство. Пусть — произвольная совокупность подмножества множества замкнутых в алгебре и Если то теорема верна, так как пустое множество замкнуто в Рассмотрим случай, когда Пусть — произвольная главная операция алгебры ее ранг и — любые элементы множества С. Тогда

так как множество замкнуто относительно операции . В силу (1)

т. е. множество С замкнуто относительно всех главных операций алгебры

Пусть — алгебра,

— произвольная совокупность подалгебр алгебры такая, что — непустое множество.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пересечением совокупности (I) подалгебр алгебры называется подалгебра алгебры такая, что

Корректность данного определения следует из того, что (по теореме 2.9) множество замкнуто в алгебре а также из того, что непустое замкнутое в алгебре подмножество множества (по теореме 2.6) однозначно определяет подалгебру алгебры с основным множеством

Запись означает, что алгебра есть пересечение совокупности (I) подалгебр алгебры

Итак, если (I) — произвольная совокупность подалгебр алгебры такая, что то алгебра

где является пересечением алгебр совокупности (I).

ТЕОРЕМА 2.10. Если в алгебре среди главных операций есть хотя бы одна нульместная, то пересечение любой (непустой) совокупности подалгебр алгебры является подалгеброй алгебры

Доказательство. Действительно, если — произвольная совокупность подалгебр алгебры имеющей хотя бы одну нульместную главную операцию f, то множество не пусто, так как оно содержит элемент, выделяемый операцией Тогда множество В, замкнутое в по теореме 2.9, однозначно определяет (по теореме 2.6) подалгебру алгебры с основным множеством В.

Из определения подалгебры следует, что для любого непустого множества М элементов данной алгебры существует наименьшая подалгебра содержащая М.

Нетрудно видеть, что такой подалгеброй является пересечение всех подалгебр алгебры содержащих множество М. Эта наименьшая подалгебра В называется подалгеброй, порожденной множеством М, а М — системой образующих для алгебры