Упражнения.

1. Пусть а — ненулевой вектор векторного пространства со стандартным скалярным умножением. Какова размерность подпространства пространства У, ортогонального к вектору а?

2. Пусть а, b — линейно независимые векторы пространства со стандартным скалярным умножением. Найдите размерность подпространства, ортогонального к векторам а и b.

3. Пусть - двумерное векторное пространство над полем рациональных чисел со стандартным скалярным умножением. Найдите в V ненулевое подпространство, в котором скалярный квадрат любого вектора отличен от единицы.

4. Пусть — векторное пространство с невырожденным скалярным умножением. Докажите, что если ненулевой вектор b ортогонален к векторам пространства то b

5. Пусть V — векторное пространство с невырожденным скалярным умножением. Пусть — линейно независимая система векторов пространства V Докажите, что если ненулевой вектор ортогонален к векторам то система линейно независима.

6. Пусть — ненулевое подпространство конечномерного векторного пространства с невырожденным скалярным умножением.

Пусть — ортогональный базис пространства и - ортогональный базис пространства Докажите, что является ортогональным базисом пространства

7. Пусть — подпространства конечномерного векторного пространства с невырожденным скалярным умножением. Докажите, что:

8. Пусть — подпространства конечномерного векторного пространства с невырожденным скалярным умножением и размерность X меньше размерности U. Докажите, что в пространстве U есть ненулевой вектор, ортогональный к подпространству

9. Пусть — подпространства конечномерного векторного пространства с невырожденным скалярным умножением. Докажите, что существует в ненулевой вектор, ортогональный к подпространствам X и U, если .