§ 4. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Определитель квадратной матрицы.

Пусть — коммутативное кольцо или поле, элементы которого будем называть скалярами. Пусть

— матрица над Пусть — множество всех подстановок множества

Рассмотрим множество М (А) всех произведений элементов матрицы А, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Всякий элемент множества М (А) содержит сомножителей и может быть записан в виде

Элементу (1) поставим в соответствие подстановку

множества Обратно: каждой подстановке из

соответствует единственный элемент множества , а именно

Таким образом, отображение, ставящее в соответствие каждой подстановке из элемент (4) множества , есть инъективное отображение множества на

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Определителем матрицы А называется сумма

Сумма содержит слагаемых, причем каждой подстановке из в этой сумме соответствует в точности одно слагаемое.

Определитель матрицы А будем обозначать или , или

Если

Если

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.1. Определитель матрицы с нулевой строкой (столбцом) равен нулю.

Квадратная матрица называется диагональной, если равны нулю все ее элементы, расположенные вне главной диагонали.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.2. Определитель диагональной матрицы равен произведению элементов ее главной диагонали.

Квадратная матрица называется треугольной, если равны нулю все ее элементы, расположенные выше (ниже) главной диагонали.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.3. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов ее главной диагонали.

Доказательство предложений предоставляется читателю.