Другими словами, отношение f называется функцией, если для любого
из области определения отношения f существует единственное у такое, что
. Этот единственный элемент у обозначается через
) и называется значением функции f для аргумента
Если
, то используется общепринятая запись
, а также запись

Областью определения функции f называется множество

Областью значений функции f называется множество

Две функции
называют равными (пишут
), если f и g равны как множества, т. е. для любых
тогда и только тогда, когда
. Следовательно, функции
равны тогда и только тогда, когда
для каждого
из 
Функции называются также отображениями. Если функция f задана на паре множеств А и В, т. е.
то говорят, что f есть отображение из А в Б. Если при этом
и
, то говорят, что f есть отображение множества А в В, и записывают в виде

Если
то говорят, что
есть отображение множества А на В.
Множество всех отображений А в В обозначается символом ВА.
Образом множества С при отображении f называется множество

Легко показать, что для любого множества С и всякого отображения 

Прообразом множества М при отображении f называется множество

т. е. множество всех тех элементов
из области определения функции f, для которых
.
Нетрудно проверить, что для любого множества М и любого отображения f имеем

Мы видели, что бинарное отношение может быть задано как график некоторого двухместного условия (предиката). Функция также может быть задана при помощи двухместного условия. Пусть
— двухместное условие на х и у такое, что нет удовлетворяющих этому условию двух упорядоченных пар, которые имели бы одинаковые первые элементы и различные вторые элементы. Тогда график условия
, т. е. множество
является функцией.
Так, например, функция, определяемая условием
на множестве Z целых чисел, может быть задана как множество

или в виде

или следующим образом:

Функция, область определения которой состоит из упорядоченных пар, называется функцией двух переменных. Функция, область определения которой состоит из упорядоченных троек, называется функцией трех переменных. Если f — функция двух переменных, то обычно вместо
пишут
. Если f — функция трех переменных, то вместо
пишут f(x, у, z).
В общем случае функция, область определения которой состоит из кортежей длины
, называется функцией
переменных. Если f — функция
переменных, то вместо
пишут 