§ 3. ФУНКЦИИ

Понятие функции (отображения).

Одним из основных понятий математики является понятие функции.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Бинарное отношение называется функцией (отображением), если для любых из того, что , следует, что .

Другими словами, отношение f называется функцией, если для любого из области определения отношения f существует единственное у такое, что . Этот единственный элемент у обозначается через ) и называется значением функции f для аргумента Если , то используется общепринятая запись , а также запись

Областью определения функции f называется множество

Областью значений функции f называется множество

Две функции называют равными (пишут ), если f и g равны как множества, т. е. для любых тогда и только тогда, когда . Следовательно, функции равны тогда и только тогда, когда для каждого из

Функции называются также отображениями. Если функция f задана на паре множеств А и В, т. е. то говорят, что f есть отображение из А в Б. Если при этом и , то говорят, что f есть отображение множества А в В, и записывают в виде

Если то говорят, что есть отображение множества А на В.

Множество всех отображений А в В обозначается символом ВА.

Образом множества С при отображении f называется множество

Легко показать, что для любого множества С и всякого отображения

Прообразом множества М при отображении f называется множество

т. е. множество всех тех элементов из области определения функции f, для которых .

Нетрудно проверить, что для любого множества М и любого отображения f имеем

Мы видели, что бинарное отношение может быть задано как график некоторого двухместного условия (предиката). Функция также может быть задана при помощи двухместного условия. Пусть — двухместное условие на х и у такое, что нет удовлетворяющих этому условию двух упорядоченных пар, которые имели бы одинаковые первые элементы и различные вторые элементы. Тогда график условия , т. е. множество является функцией.

Так, например, функция, определяемая условием на множестве Z целых чисел, может быть задана как множество

или в виде

или следующим образом:

Функция, область определения которой состоит из упорядоченных пар, называется функцией двух переменных. Функция, область определения которой состоит из упорядоченных троек, называется функцией трех переменных. Если f — функция двух переменных, то обычно вместо пишут . Если f — функция трех переменных, то вместо пишут f(x, у, z).

В общем случае функция, область определения которой состоит из кортежей длины , называется функцией переменных. Если f — функция переменных, то вместо пишут