ЕГЭ и ОГЭ
Хочу знать
Главная > Математика > Алгебра и теория чисел
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Научная библиотека

Научная библиотека

избранных естественно-научных изданий

Научная библиотека служит для получения быстрого и удобного доступа к информации естественно-научных изданий, получивших широкое распространение в России и за рубежом. На сайте впервые широкой публике представлены некоторые авторские издания написанные ведущими учеными страны.

Во избежании нарушения авторского права, материал библиотеки доступен по паролю ограниченному кругу студентов и преподавателей вузов. Исключение составляют авторские издания, на которые имеются разрешения публикации в открытой печати.

Математика

Физика

Методы обработки сигналов

Схемотехника

Астрономия

Разное

Научная библиотека

Научная библиотека

избранных естественно-научных изданий

Научная библиотека служит для получения быстрого и удобного доступа к информации естественно-научных изданий, получивших широкое распространение в России и за рубежом. На сайте впервые широкой публике представлены некоторые авторские издания написанные ведущими учеными страны.

Во избежании нарушения авторского права, материал библиотеки доступен по паролю ограниченному кругу студентов и преподавателей вузов. Исключение составляют авторские издания, на которые имеются разрешения публикации в открытой печати.

Математика

Физика

Методы обработки сигналов

Схемотехника

Астрономия

Разное

Макеты страниц

§ 3. СОСТАВНОЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ РАСШИРЕНИЕ ПОЛЯ

Конечное расширение поля.

Пусть — подполе поля Тогда мы можем рассматривать как векторное пространство над т. е. рассматривать векторное пространство

где — операция умножения элементов из F на скаляр

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Расширение поля назьюается конечным, если как векторное пространство над имеет конечную размерность. Эта размерность обозначается через

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.1. Если а — алгебраический элемент степени над , то

Это предложение непосредственно следует из теоремы 2.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Расширение поля называется алгебраическим, если каждый элемент из F является алгебраическим над

ТЕОРЕМА 3.2. Любое конечное расширение поля является алгебраическим над .

Доказательство. Пусть - размерность над Теорема, очевидно, верна, если Предположим, что Любые элементов из F линейно зависимы над . В частности, линейно зависима система элементов 1, а, т. е. существуют в Р такие элементы не все равные нулю, что

Следовательно, элемента является алгебраическим над Отметим, что существуют алгебраические расширения поля, не являющиеся конечными расширениями.

Составное алгебраическое расширение поля.

Расширение лоля называется составным, если существует возрастающая цепочка подполей поля такая, что

ТЕОРЕМА 3.3. Пусть - конечное расширение поля — конечное расширение поля . Тогда является конечным расширением поля и

Доказательство. Пусть

базис поля над (как векторного пространства) и

— базис поля над . Любой элемент d из F можно линейно выразить через базис:

Коэффициенты можно линейно выразить через базис (1):

Подставляя выражения для коэффициентов в (3), получаем

Таким образом, каждый элемент поля представим в виде линейной комбинации элементов множества В, где

Отметим, что множество В состоит из элементов.

Покажем, что В есть базис над полем . Нам надо показать, что система элементов множества В линейно независима. Пусть

где . Так как система (2) линейно независима над 36, то из (5) следуют равенства

Поскольку элементы линейно независимы над то из (6) следуют равенства

показывающие, что все коэффициенты в (5) равны нулю. Таким образом, система элементов В линейно независима и является базисом над

Итак установлено, что . Следовательно, является конечным расширением поля и имеет место формула (I).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Расширение поля называется составным алгебраическим, если существует возрастающая цепочка подполей поля

такая, что при поле является простым алгебраическим расширением поля Число k называется длиной цепочки (1).

СЛЕДСТВИЕ 3.4. Составное алгебраическое расширение поля 8 является конечным расширением поля .

Доказательство легко проводится индукцией по длине цепочки (1) на основании теоремы 3.3.

ТЕОРЕМА 3.5. Пусть — алгебраические над полем элементы поля Тогда поле является конечным расширением поля

Доказательство. Пусть

Тогда есть простое алгебраическое расширение поля простое алгебраическое расширение поля SBX, так как

Таким образом,

где при , т. е. каждый член цепочки (2) является простым алгебраическим расширением предшествующего члена цепочки. Итак, поле является составным алгебраическим расширением поля Следовательно, в силу следствия 3.4 поле является конечным расширением поля

СЛЕДСТВИЕ 3.6. Составное алгебраическое расширение поля является алгебраическим расширением этого поля.

Простота составного алгебраического расширения поля.

ТЕОРЕМА 3.7. Пусть числовое поле есть составное алгебраическое расширение поля Тогда является простым алгебраическим расширением поля

Доказательство. Пусть причем и, следовательно,

Пусть f и g — минимальные полиномы над соответственно для чисел . Полиномы f и g неприводимы над и, следовательно, не имеют в поле комплексных чисел кратных корней. Пусть

Рассмотрим конечное множество М:

Поскольку — числовое множество значит, бесконечное), то в Р существует число с, отличное от элементов множества . Пусть

Тогда выполняются соотношения

В самом деле, в случае равенства было бы

что противоречило бы выбору числа с.

Пусть — кольцо полиномов от Пусть — полином из Покажем, что есть наибольший общий делитель полиномов h и g в кольце Так как то делит g в Далее, в силу (1)

Поэтому делит полином h в Таким образом, есть общий делитель h и g в кольце

Докажем, что g и h в С не имеет корней, отличных от . В самом деле, допустим, что есть их общий корень. Тогда Следовательно, найдется такой индекс что а это противоречит (2). На основании этого заключаем, что есть наибольший общий делитель g и h в Поскольку — нормированный полином, то отсюда следует, что является наибольшим общим делителем g и h в кольце Поэтому

Кроме того, Таким образом,

Следовательно, Далее, так как у (как и всякий элемент из F) есть алгебраический элемент над то поле является искомым Простым алгебраическим расширением поля

Поле алгебраических чисел.

В классе подполей поля комплексных чисел одним из наиболее важных является поле алгебраических чисел.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Алгебраическим числом называется комплексное число, являющееся корнем полинома положительной степени с рациональными коэффициентами.

Отметим, что алгебраическое число есть любое комплексное число, алгебраическое над полем . В частности, любое рациональное число является алгебраическим.

ТЕОРЕМА 3.8. Множество А всех алгебраических чисел замкнуто в кольце комплексных чисел. Алгебра является полем, подполем поля

Доказательство. Пусть а и b — любые элементы из . По следствию 3.6, поле является алгебраическим над . Поэтому числа а являются алгебраическими, т. е. принадлежат множеству А. Таким образом, множество замкнуто относительно главных операций кольца Поэтому алгебра — подкольцо кольца — является кольцом.

Кроме того, если а — ненулевой элемент из , то и поэтому принадлежит . Следовательно, алгебра есть поле, подполе поля

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Поле называется полем алгебраических чисел.

Алгебраическая замкнутость поля алгебраических чисел.

ТЕОРЕМА 3.9. Поле алгебраических чисел алгебраически замкнуто.

Доказательство. Пусть — кольцо полиномов от над полем алгебраических чисел. Пусть

— любой полином положительной степени из Нам надо доказать, что f имеет корень в . Так как и поле алгебраически замкнуто, то f имеет корень в т. е. существует такое комплексное число с, что Пусть — простое алгебраическое расширение поля 36 с помощью с. Тогда есть конечное алгебраическое расширение поля 36. По теореме 3.2, 36 есть конечное расширение поля . В силу теоремы 3.3 является конечным расширением поля а. Отсюда, по теореме 3.2, следует, что поле является алгебраическим расширением поля и, значит, . Таким образом, любой полином из положительной степени имеет в корень, т. е. поле алгебраически замкнуто.

Упражнения

1. Найдите степень поля над полем если:

2. Найдите базис и степень поля над полем если:

3. Пусть - полиномы над полем рациональных чисел, имеющие общий действительный корень. Докажите, что имеют общий делитель положительной степени с рациональными коэффициентами.

4. Докажите, что неприводимый над числовым полем полином не имеет кратных корней в поле комплексных чисел.

5. Докажите, что комплексное число есть алгебраическое число тогда и только тогда, когда оно является корнем полинома положительной степени с целыми коэффициентами.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление