Главная > Математика > Алгебра и теория чисел
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. СОСТАВНОЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ РАСШИРЕНИЕ ПОЛЯ

Конечное расширение поля.

Пусть — подполе поля Тогда мы можем рассматривать как векторное пространство над т. е. рассматривать векторное пространство

где — операция умножения элементов из F на скаляр

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Расширение поля назьюается конечным, если как векторное пространство над имеет конечную размерность. Эта размерность обозначается через

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.1. Если а — алгебраический элемент степени над , то

Это предложение непосредственно следует из теоремы 2.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Расширение поля называется алгебраическим, если каждый элемент из F является алгебраическим над

ТЕОРЕМА 3.2. Любое конечное расширение поля является алгебраическим над .

Доказательство. Пусть - размерность над Теорема, очевидно, верна, если Предположим, что Любые элементов из F линейно зависимы над . В частности, линейно зависима система элементов 1, а, т. е. существуют в Р такие элементы не все равные нулю, что

Следовательно, элемента является алгебраическим над Отметим, что существуют алгебраические расширения поля, не являющиеся конечными расширениями.

Составное алгебраическое расширение поля.

Расширение лоля называется составным, если существует возрастающая цепочка подполей поля такая, что

ТЕОРЕМА 3.3. Пусть - конечное расширение поля — конечное расширение поля . Тогда является конечным расширением поля и

Доказательство. Пусть

— базис поля над (как векторного пространства) и

— базис поля над . Любой элемент d из F можно линейно выразить через базис:

Коэффициенты можно линейно выразить через базис (1):

Подставляя выражения для коэффициентов в (3), получаем

Таким образом, каждый элемент поля представим в виде линейной комбинации элементов множества В, где

Отметим, что множество В состоит из элементов.

Покажем, что В есть базис над полем . Нам надо показать, что система элементов множества В линейно независима. Пусть

где . Так как система (2) линейно независима над 36, то из (5) следуют равенства

Поскольку элементы линейно независимы над то из (6) следуют равенства

показывающие, что все коэффициенты в (5) равны нулю. Таким образом, система элементов В линейно независима и является базисом над

Итак установлено, что . Следовательно, является конечным расширением поля и имеет место формула (I).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Расширение поля называется составным алгебраическим, если существует возрастающая цепочка подполей поля

такая, что при поле является простым алгебраическим расширением поля Число k называется длиной цепочки (1).

СЛЕДСТВИЕ 3.4. Составное алгебраическое расширение поля 8 является конечным расширением поля .

Доказательство легко проводится индукцией по длине цепочки (1) на основании теоремы 3.3.

ТЕОРЕМА 3.5. Пусть — алгебраические над полем элементы поля Тогда поле является конечным расширением поля

Доказательство. Пусть

Тогда есть простое алгебраическое расширение поля простое алгебраическое расширение поля SBX, так как

Таким образом,

где при , т. е. каждый член цепочки (2) является простым алгебраическим расширением предшествующего члена цепочки. Итак, поле является составным алгебраическим расширением поля Следовательно, в силу следствия 3.4 поле является конечным расширением поля

СЛЕДСТВИЕ 3.6. Составное алгебраическое расширение поля является алгебраическим расширением этого поля.

Простота составного алгебраического расширения поля.

ТЕОРЕМА 3.7. Пусть числовое поле есть составное алгебраическое расширение поля Тогда является простым алгебраическим расширением поля

Доказательство. Пусть причем и, следовательно,

Пусть f и g — минимальные полиномы над соответственно для чисел . Полиномы f и g неприводимы над и, следовательно, не имеют в поле комплексных чисел кратных корней. Пусть

Рассмотрим конечное множество М:

Поскольку — числовое множество значит, бесконечное), то в Р существует число с, отличное от элементов множества . Пусть

Тогда выполняются соотношения

В самом деле, в случае равенства было бы

что противоречило бы выбору числа с.

Пусть — кольцо полиномов от Пусть — полином из Покажем, что есть наибольший общий делитель полиномов h и g в кольце Так как то делит g в Далее, в силу (1)

Поэтому делит полином h в Таким образом, есть общий делитель h и g в кольце

Докажем, что g и h в С не имеет корней, отличных от . В самом деле, допустим, что есть их общий корень. Тогда Следовательно, найдется такой индекс что а это противоречит (2). На основании этого заключаем, что есть наибольший общий делитель g и h в Поскольку — нормированный полином, то отсюда следует, что является наибольшим общим делителем g и h в кольце Поэтому

Кроме того, Таким образом,

Следовательно, Далее, так как у (как и всякий элемент из F) есть алгебраический элемент над то поле является искомым Простым алгебраическим расширением поля

Поле алгебраических чисел.

В классе подполей поля комплексных чисел одним из наиболее важных является поле алгебраических чисел.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Алгебраическим числом называется комплексное число, являющееся корнем полинома положительной степени с рациональными коэффициентами.

Отметим, что алгебраическое число есть любое комплексное число, алгебраическое над полем . В частности, любое рациональное число является алгебраическим.

ТЕОРЕМА 3.8. Множество А всех алгебраических чисел замкнуто в кольце комплексных чисел. Алгебра является полем, подполем поля

Доказательство. Пусть а и b — любые элементы из . По следствию 3.6, поле является алгебраическим над . Поэтому числа а являются алгебраическими, т. е. принадлежат множеству А. Таким образом, множество замкнуто относительно главных операций кольца Поэтому алгебра — подкольцо кольца — является кольцом.

Кроме того, если а — ненулевой элемент из , то и поэтому принадлежит . Следовательно, алгебра есть поле, подполе поля

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Поле называется полем алгебраических чисел.

Алгебраическая замкнутость поля алгебраических чисел.

ТЕОРЕМА 3.9. Поле алгебраических чисел алгебраически замкнуто.

Доказательство. Пусть — кольцо полиномов от над полем алгебраических чисел. Пусть

— любой полином положительной степени из Нам надо доказать, что f имеет корень в . Так как и поле алгебраически замкнуто, то f имеет корень в т. е. существует такое комплексное число с, что Пусть — простое алгебраическое расширение поля 36 с помощью с. Тогда есть конечное алгебраическое расширение поля 36. По теореме 3.2, 36 есть конечное расширение поля . В силу теоремы 3.3 является конечным расширением поля а. Отсюда, по теореме 3.2, следует, что поле является алгебраическим расширением поля и, значит, . Таким образом, любой полином из положительной степени имеет в корень, т. е. поле алгебраически замкнуто.

Упражнения

1. Найдите степень поля над полем если:

2. Найдите базис и степень поля над полем если:

3. Пусть - полиномы над полем рациональных чисел, имеющие общий действительный корень. Докажите, что имеют общий делитель положительной степени с рациональными коэффициентами.

4. Докажите, что неприводимый над числовым полем полином не имеет кратных корней в поле комплексных чисел.

5. Докажите, что комплексное число есть алгебраическое число тогда и только тогда, когда оно является корнем полинома положительной степени с целыми коэффициентами.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление