§ 3. ФАКТОРИАЛЬНОСТЬ КОЛЬЦА ПОЛИНОМОВ НАД ФАКТОРИАЛЬНЫМ КОЛЬЦОМ

Примитивные полиномы.

Всюду ниже используются следующие обозначения: — факториальное кольцо, поле частных кольца — кольцо полиномов от над — кольцо полиномов от над

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть — произвольный ненулевой полином из Наибольший общий делитель коэффициентов в кольце называется содержанием полинома

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Полином f, содержание которого есть единица или делитель единицы (в ), называется примитивным в кольце

Содержание полинома f в определяется однозначно с точностью до множителей, являющихся делителями единицы. Другими словами, любые два содержания полинома ассоциированы в .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.1. Если d — содержание ненулевого полинома из , то , где g — примитивный в полином.

Доказательство. В самом деле, если в правой части равенства вынести d за скобки, то получим равенство причем в силу предложения 13.4.6 единица есть наибольший общий делитель коэффициентов полинома g. Следовательно, g — примитивный в полином.

Отметим, что всякий неприводимый над кольцом полином положительной степени примитивен в Действительно, если f не примитивен, то, по предложению где g — примитивный в полином положительной степени, a d — содержание f. Поскольку f не примитивен, то d не является делителем единицы в и, значит, d и g — необратимые элементы Следовательно, f приводим в Таким образом, всякий непримитивный полином положительной степени приводим в а, значит, всякий неприводимый в полином положительной степени примитивен в

Заметим также, что примитивный в полином приводим над тогда и только тогда, когда его можно представить в виде произведения полиномов положительной степени (причем примитивных).

Для произвольного непримитивного полинома f это неверно, так как возможно, что где d — содержание f и — примитивный неприводимый полином. ЛЕММА 3.2. Пусть f, h — примитивные в полиномы и

Тогда d ассоциирован с с в ассоциирован с Доказательство. Пусть

тогда . В силу

Поскольку 1 есть наибольший общий делитель коэффициентов то в силу предложения 13.4.5 с — наибольший общий делитель коэффициентов Аналогично, на основании примитивности h и равенств (2) заключаем, что d — наибольший общий делитель коэффициентов Следовательно, ассоциированы в и поэтому где — обратимый элемент кольца . Разделив обе часги равенства (1) на с, получим , т. е. f и h ассоциированы в

ЛЕММА 3.3. Пусть f и h — примитивные в полиномы. Если полиномы f и h ассоциированы в то они ассоциированы также в

Доказательство. Пусть f и h ассоциированы в Тогда где а — некоторый ненулевой элемент поля Поскольку — поле частных кольца , элемент а можно представить в виде где

Таким образом, По лемме 3.2, отсюда следует, что полиномы ассоциированы в кольце

ЛЕММА 3.4 (Гаусса). Произведение примитивных в полиномов является примитивным в полиномом.

Доказательство. Пусгь — произвольные примитивные в полиномы:

тогда

Покажем, что полином примитивен в кольце Предположим, что — любой простой элемент кольца , и докажем, что хотя бы один коэффициент полинома не делится на . В самом деле, в силу примитивности полинома f существует коэффициент не делящийся на и имеющий наименьший индекс. Аналогично, существует — коэффициент полинома g, не делящийся на и имеющий наименьший индекс. Коэффициент полинома можно представить в виде суммы:

Первое слагаемое этой суммы не делится на , а второе — делится на или отсутствует. Таким образом, не делится на . Поэтому содержание полинома равно 1, т. е. полином является примитивным в

ЛЕММА 3.5. Пусть f — полином в Если полином f приводим в то он приводим такоюе в

Доказательство. Пусть полином f приводим в т. е.

где g и — полиномы положительной степени из Допустим, что f неприводим в и, следовательно, примитивен в Пусть

Поскольку — поле частных кольца , то каждый коэффициент можно представить в виде

Положим тогда и в силу предложения 3.1

где — примитивный в полином положительной степени, а с — содержание полинома g. Аналогично убеждаемся в том, что существуют элементы такие, что

где — примитивный в полином положительной степени.

В силу (1), (2) и (3) имеем

причем, по лемме Гаусса, полином примитивен в

По лемме 3.2, из (4) следует, что полиномы f и ассоциированы в Следовательно,

где — элемент, обратимый в К, и g, — полиномы положительной степени из что противоречит нашему допущению. Таким образом, полином f приводим в

СЛЕДСТВИЕ 3.6. Если полином положительной степени неприводим в кольце то он неприводим также в кольце