Операции над множествами.

Рассмотрим операции над множествами, с помощью которых можно получать из любых двух множеств новые множества.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А и В.

Такое множество всегда существует.

Из определения равенства двух множеств следует, что для любых множеств А и В существует единственное множество, являющееся их объединением. В самом деле, если бы существовали два таких множества С и D, то они содержали бы одни и те же элементы и поэтому совпадали.

Это единственное множество, объединение множеств А и В, обозначается . Таким образом, по определению,

Следовательно, для произвольного верна эквивалентность

Из определения объединения множеств следует также, что .

Пример. Если , то .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пересечением множеств А я В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству А, так и множеству В.

Такое множество всегда существует.

Для любых двух множеств А и В существует единственное множество, являющееся их пересечением. В самом деле, если бы существовали два таких множества С и D, то они содержали бы одни и те же элементы и поэтому совпадали. Пересечение множеств А и В обозначается . Таким образом, по определению,

Следовательно, для произвольного верна эквивалентность

Из определения пересечения множеств следует, что

Пример. Если , то .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Разностью множеств А и В называется множество, элементами которого являются элементы множества Л, не принадлежащие множеству В, и только они.

Для любых множеств А и В всегда существует такое множество, и притом единственное. Разность множеств А и В обозначается . Таким образом, по определению,

Следовательно, для любого верна эквивалентность

Пример. Если то

ТЕОРЕМА 1.2. Для любых множеств Л и В эквивалентны следующие три соотношения:

Доказательство. Каждый элемент множества принадлежит A или В и в силу (а) является элементом множества В, т. е. . Кроме того, ; следовательно,

В силу (а) каждый элемент множества A есть общий элемент A и В, т. е. Кроме того, следовательно,

Имеем и в силу поэтому . Поскольку (а) , то следует равенство (с);

В силу . Кроме того, ; следовательно, .