§ 3. ОТНОШЕНИЕ ПОРЯДКА НА МНОЖЕСТВЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Отношение порядка.

Рассмотрим отношения порядка на множестве натуральных чисел.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если для натуральных чисел а и b существует такое натуральное число k, что , то говорят, что «а меньше и пишут Говорят, что «а меньше или равно b», и пишут если или .

Отношение, инверсное к отношению обозначают символом . Таким образом, тогда и только тогда, когда . Если или , то говорят, что «а больше или равно b», и пишут Отношение является инверсией к отношению

ТЕОРЕМА 3.1. Для любых натуральных чисел а и b:

(4) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число k, что

Доказательство теоремы легко следует из определений отношений и предоставляется читателю.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Алгебраическая система называется упорядоченной системой натуральных чисел.

ТЕОРЕМА 3.2 (ЗАКОН ТРИХОТОМИИ ДЛЯ ). Для любых натуральных чисел выполняется одно и только одно из трех условий:

Эта теорема непосредственно следует из определения отношения теоремы 2.9.

СЛЕДСТВИЕ 3.3. Для любых натуральных чисел выполняются:

(1) (закон рефлексивности для );

(2) либо либо (закон связанности для

(3) если (закон антисимметричности для ).

ТЕОРЕМА 3.4. Бинарное отношение множестве натуральных чисел транзитивно, т. е. для любых натуральных чисел а, b и с, если то а

Доказательство. Предположим, что Тогда существуют натуральные числа , удовлетворяющие условиям:

В силу причем в силу (2) и следствия следовательно,

СЛЕДСТВИЕ 3.5. Отношение множестве натуральных чисел является отношением строгого линейного порядка. Система является линейно упорядоченным множеством.

СЛЕДСТВИЕ 3.6. Для любых натуральных чисел а, b и с:

СЛЕДСТВИЕ 3.7. Бинарное отношение на множестве натуральных чисел является отношением нестрогого линейного порядка.

ТЕОРЕМА 3.8. Отношение монотонно относительно сложения и умножения, т. е. для любых натуральных чисел а, b и с:

Доказательство. Условие равносильно условию для некоторого натурального k, которое, по закону сокращения, равносильно условию для некоторого натурального k, т. е. условию

Предположим, что . Существует такое натуральное число k, что . Умножив обе части равенства на с, получим По теореме поскольку следовательно,

СЛЕДСТВИЕ 3.9. Отношение монотонно относительно сложения и умножения, т. е. для любых натуральных а, b и с:

ТЕОРЕМА 3.10. Для любых натуральных чисел и с из следует

Доказательство. Согласно следствию 3.9, для любых натуральных а, b, с

если то Отсюда по закону контрапозиции вытекает утверждение:

если