Упражнения

1. Докажите, что любая фактор-группа аддитивной группы целых чисел является циклической.

2. Найдите все фактор-группы циклической группы порядка 12.

3. Докажите, что любая фактор-группа циклической группы является циклической.

4. Докажите, что фактор-группа симметрической группы подстановок степени по подгруппе всех четных подстановок есть циклическая группа второго порядка.

5. Докажите, что аддитивная группа целых чисел изоморфна аддитивной группе 2% четных чисел.

6. Докажите, что аддитивная группа всех комплексных чисел изоморфна аддитивной группе всех векторов плоскости.

7. Пусть — группа подстановок. Рассмотрим отображение h группы в мультипликативную группу чисел ставящее в соответствие каждой подстановке из ее знак т. Покажите, что h есть гомоморфизм.

8. Покажите, что мультипликативная группа корней степени из 1 изоморфна аддитивной группе классов вычетов по модулю

9. Пусть — мультипликативная группа обратимых действительных -матриц и — мультипликативная группа действительных чисел, отличных от нуля. Пусть -отображение в ставящее в соответствие каждому элементу g группы определитель Докажите, что h есть гомоморфизм, ядром которого является подгруппа группы всех -матриц с определителями, равными 1.

10. Пусть (М — аддитивная группа действительных чисел и — мультипликативная группа комплексных чисел, модуль которых равен 1. Докажите, что отображение множества R в К, определяемое формулой есть гомоморфизм группы на группу с ядром

11. Пусть g — аддитивная группа рациональных чисел и — аддитивная группа целых чисел. Покажите, что каждый элемент фактор-группы имеет конечный порядок. Докажите, что для всякого натурального отличного от нуля, имеет только одну подгруппу порядка и что каждая такая подгруппа циклическая,