Упражнения

1. Пусть — линейный оператор одномерного векторного пространства над полем . Докажите, что существует такой скаляр что для любого вектора

2. Пусть — линейные операторы конечномерного векторного пространства и . Будет ли

3. Пусть — линейное отображение векторного пространства U в пространстве и Докажите, что множество является линейным многообразием пространства U с направлением

4. Пусть — линейное отображение векторного пространства U в пространство . Докажите, что если система линейно независима в , то система линейно независима в

5. Пусть — инъективное линейное отображение векторного пространства U в пространство , Докажите, что если система линейно независима в U, то система нейно независима в .

6. Докажите, что линейное отображение векторного пространства U в пространство инъективно тогда и только тогда, когда

7. Пусть — линейное отображение -мерного векторного пространства U на -мерное пространство У. Докажите, что есть изоморфизм.

8. Пусть — линейное отображение векторного пространства на одномерное пространство и Докажите, что

9. Пусть -линейные операторы векторного пространства такие, что Докажите, что

10. Пусть есть линейный оператор векторного пространства , удовлетворяющий условию Покажите, что

11. Пусть U и — векторные пространства над полем причем пространство U одномерное. Докажите, что всякое ненулевое отображение U в является инъективным.

12. Пусть — векторное пространство всех линейных отображений конечномерного векторного пространства U в конечномерное пространство . Докажите, что

13. Пусть — конечномерные векторные пространства, размерности которых Докажите, что размерность векторного пространства от равна произведению

14. Пусть — линейное отображение конечномерного векторного пространства U в векторное пространство . Докажите, что

15. Пусть — линейное отображение векторного пространства U в конечномерное векторное пространство . Пусть такая система векторов пространства U, что система является базисом пространства Докажите, что

16. Пусть — линейный оператор конечномерного векторного пространства У над полем Докажите, что для достаточно большого натурального числа линейные операторы линейно зависимы над полем