§ 2. ПОЛИНОМЫ НАД ПОЛЕМ

Теорема о делении с остатком.

Пусть — кольцо полиномов над полем - его основное множество.

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть h — ненулевой полином из Для каждого полинома f из существует в единственная пара полиномов q и таких, что

Доказательство. Сначала докажем индукцией по степени полинома f существование полиномов q и , удовлетворяющих условиям (1). Пусть

Отметим, что если — нулевой полином или , то и, значит, можно положить и . Поэтому нам остается рассмотреть случай, когда . Допустим, что теорема верна для любого полинома f степени меньшей, чем . Пусть . В этом случае полиномы f и имеют одинаковые старшие коэффициенты. Следовательно, полином

либо нулевой степени, либо его степень меньше .

Если , то и можно положить . Если же , то, по индуктивному предположению, в существуют полиномы такие, что

В силу (2) и , или если положить

Докажем, что для заданных полиномов f и h «неполное частное» q и «остаток» в (4) определяются однозначно. В самом деле, предположим, что

Тогда в силу (4) и (5) имеем

Если , то и

что противоречит условиям (6). Если же , то и, следовательно,

СЛЕДСТВИЕ 2.2. Если — поле, то кольцо полиномов является евклидовым кольцом.

СЛЕДСТВИЕ 2.3. Кольцо полиномов над полем У является кольцом главных идеалов.

СЛЕДСТВИЕ 2.4. Если — поле, то кольцо полиномов факториально.