§ 4. ФОРМАЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ ПОЛИНОМА. НЕПРИВОДИМЫЕ КРАТНЫЕ МНОЖИТЕЛИ

Формальная производная полинома.

Пусть — кольцо полиномов от над полем . Пусть — простое трансцендентное расширение кольца при помощи у. Кольцо будем обозначать также через . Здесь элементы кольца если они являются элементами кольца будем обозначать через если же они являются элементами кольца то через и т. д.

В кольце рассмотрим полиномы

и их разность . Легко видеть, что

где . Отметим, что

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть — полином над полем . Полином

называется формальной производной полинома f и обозначается через или

ТЕОРЕМА 4.1. Пусть — кольцо полиномов над полем — любые полиномы из тогда:

(4) при любом натуральном .

Доказательство. (1) Пусть тогда

Поэтому следовательно,

(2) Положим тогда

Отсюда получаем

следовательно,

(3) Формула (3) непосредственно следует из формулы (2) при так как в этом случае

(4) Доказательство формулы (4) проводится индукцией по на основании формулы (2).