Линейные многообразия.

Пусть — подпространство векторного пространства и L — его основное множество. На множестве V определим бинарное отношение считая, что тогда и только тогда, когда Назовем это бинарное отношение отношением сравнения по .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.3. Отношение сравнения на множестве V по является отношением эквивалентности на V.

Доказательство. Отношение сравнения по , очевидно, рефлексивно. Отношение по X симметрично, так как из следует Отношение сравнения по транзитивно, так как для любых из следует, что Следовательно, отношение сравнения по X является отношением эквивалентности на множестве V.

Отношение эквивалентности на V определяет разбиение множества V на классы эквивалентности.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть — подпространство векторного пространства Любой класс эквивалентности отношения сравнения по называется линейным многообразием пространства с направлением .

Пример. Множество всех решений совместной системы линейных уравнений с переменными является линейным многообразием с направлением X -мерного арифметического векторного пространства, где — пространство решений соответствующей однородной системы уравнений.

Из приведенного выше определения вытекают свойства

СВОЙСТВО 2.7. Два вектора векторного пространства принадлежат одному и тому же линейному многообразию с направлением тогда и только тогда, когда их разность принадлежит

СВОЙСТВО 2.8. Любые два линейных многообразия векторного пространства с направлением либо совпадают, либо не пересекаются.

Объединение всех линейных многообразий пространства с направлением X равно множеству V.

Обозначим через множество

СВОЙСТВО 2.9. Если Н — линейное многообразие векторного пространства с направлением и то

Доказательство. Так как любойэлемент множества сравним с а по X, то Кроме того, любой элемент с из сравним с а по X, т. е. и Поэтому Следовательно,

СЛЕДСТВИЕ 2.4. Если а и b — элементы одного и того же линейного многообразия пространства с направлением X, то

СЛЕДСТВИЕ 2.5. Если и с — любой элемент пространства , то является линейным многообразием пространства с направлением X.

СВОЙСТВО 2.10. Пусть X и U — подпространства векторного пространства и Включение имеет место тогда и только тогда, когда

Доказательство. Предположим, что Тогда поэтому

Предположим теперь, что выполнены условия Тогда следовательно,

СВОЙСТВО 2.11. Пересечение линейных многообразий и векторного пространства не пусто тогда и только тогда, когда

Доказательство. Предположим, что пересечение не пусто и с — элемент пересечения. Тогда и, где поэтому

Предположим теперь, что Тогда где Следовательно, многообразия а имеют общий элемент b .

СВОЙСТВО 2.12. Если пересечение линейного многообразия с направлением X и линейного многообразия с направлением U не пусто, то оно является линейным многообразием с направлением

Доказательство. Предположим, что пересечение многообразий не пусто и с — их общий элемент; тогда

Легко проверить, что Следовательно, т. e. пересечение двух рассматриваемых многообразий есть линейное многообразие с направлением

СВОЙСТВО 2.13. Если векторное пространство есть прямая сумма подпространств и , то пересечение линейного многообразия с направлением X и линейного многообразия с направлением U содержит только один элемент.

Доказательство. Пусть тогда Пусть — линейные многообразия с направлениями X и U соответственно. По свойству 2.11, их пересечение не пусто, так как Пусть с — общий элемент пересечения. По свойству 2.12, отсюда следует, что