Упражнения

1. Как изменится матрица линейного оператора, если в базисе переставить какие-нибудь два вектора, например и

2. Докажите, что ранг линейного оператора конечномерного векторного пространства равен рангу матрицы этого оператора.

3. Покажите, что всякий линейный оператор ранга конечномерного векторного пространства можно представить в виде суммы линейных операторов ранга 1.

4. Пусть — векторное пространство всех квадратных матриц второго порядка над полем . Покажите, что преобразование состоящее в умножении матриц из слева на матрицу есть линейный оператор. Найдите матрицу оператора в базисе

5. Докажите, что линейный оператор конечномерного векторного пространства , перестановочный с каждым линейным оператором пространства есть скаляр, . е. существует такой скаляр , что для любого вектора из .

6. Пусть — произвольный, - обратимый линейный оператор конечномерного векторного пространства. Докажите, что

7. Пусть -произвольные линейные операторы конечномерного векторного пространства. Докажите, что:

8. Приведите пример линейных операторов двумерного векторного пространства, для которых ранг ранг

9. Докажите, что для любых линейных операторов n-мерного векторного пространства выполняется неравенство

10. Пусть — линейный оператор векторного пространства . Подпространство X пространства называется инвариантным относительно если Пусть относительно базиса оператор имеет диагональную матрицу с различными диагональньши элементами. Найдите все подпространства пространства , инвариантные относительно и покажите, что число их равно