Норма вектора.

Пусть — евклидово векторное пространство.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Нормой вектора евклидова пространства называется арифметический квадратный корень из скалярного квадрата вектора.

Норма вектора обозначается через

По определению, Следовательно,

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Вектор а называется нормированным, если

Следующая теорема выражает основные свойства нормы вектора.

ТЕОРЕМА 6.2. Если а, b — векторы евклидова пространства и , то:

Доказательство. Скалярное Умножение в евклидовом пространстве положительно определено, т. е. при . Кроме того, при .

Согласно определению нормы,

т. е. выполняется (2).

Неравенство (3) верно, если или . Поэтому будем предполагать, что а и b — ненулевые векторы. Для любых действительных чисел имеем неравенство

Раскрывая скобки в левой части неравенства и полагая , получаем:

Так как то , поэтому

Заменим в этом неравенстве а на —а:

На основании последних двух неравенств заключаем, что имеет место неравенство (3).

Для доказательства неравенства (4) достаточно показать, что Легко видеть, что ; поэтому

В силу (5) второе слагаемое в правой части последнего равенства меньше или равно нулю, следовательно,

отсюда вытекает неравенство (4).