Линейная зависимость и независимость системы векторов.

Пусть — поле скаляров и F — его основное множество. Пусть — -мерное арифметическое пространство над — произвольная система векторов пространства

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Линейной комбинацией системы векторов называется сумма вида где . Скаляры называются коэффициентами линейной комбинации. Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один ее коэффициент отличен от нуля. Линейная комбинация называется тривиальной, если все ее коэффициенты равны нулю.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество всех линейных комбинаций векторов системы называется линейной оболочкой этой системы и обозначается через . Линейной оболочкой пустой системы считается множество, состоящее из нулевого вектора.

Итак, по определению,

Легко видеть, что линейная оболочка данной системы векторов замкнута относительно операций сложения векторов, вычитания векторов и умножений векторов на скаляры.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Система векторов называется линейно независимой, если для любых скаляров из равенства следуют равенства . Пустая система векторов

считается линейно независимой.

Другими словами, конечная система векторов линейно независима в том и только в том случае, когда всякая нетривиальная линейная комбинация векторов системы не равна нулевому вектору.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Система векторов называется линейно зависимой, если существуют скаляры не все равные нулю, такие, что

Другими словами, конечная система векторов называется линейно зависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация векторов системы, равная нулевому вектору.

Система векторов

называется системой единичных векторов векторного пространства Эта система векторов линейно независима. В самом деле, для любых скаляров из равенства следует равенство и, значит, равенства

Рассмотрим свойства линейной зависимости и независимости системы векторов.

СВОЙСТВО 1.1. Система векторов, содержащая нуле вой вектор, линейно зависима.

Доказательство. Если в системе векторов один из векторов, например вектор нулевой, то линейная комбинация векторов системы, все коэффициенты которой нулевые, за исключением коэффициента при равна нулевому вектору. Следовательно, такая система векторов линейно зависима.

СВОЙСТВО 1.2. Система векторов линейно зависима, если какая-нибудь ее подсистема линейно зависима.

Доказательство. Пусть — линейно зависимая подсистема системы причем хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля. Тогда Следовательно, система векторов линейно зависима.

СЛЕДСТВИЕ. Любая подсистема линейно независимой системы линейно независима.

СВОЙСТВО 1.3. Система векторов

в которой линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов является линейной комбинацией предшествующих векторов.

Доказательство. Пусть система (1) линейно зависима и Тогда существуют скаляры не все равные нулю, такие, что

Обозначим через k наибольшее из чисел удовлетворяющее условию Тогда равенство (2) можно записать в виде

Отметим, что ибо в противном случае следовательно, поскольку . Из (3) следует равенство

Предположим теперь, что вектор есть линейная комбинация предшествующих ему векторов, т. е. Тогда , т. е. подсистема системы (1) линейно зависима. Следовательно, по свойству 1.2, линейно зависима и исходная система (1).

СВОЙСТВО 1.4. Если система векторов линейно независима, а система векторов

линейно зависима, то вектор v линейно выражается через векторы

и притом единственным образом.

Доказательство. По условию система (2) линейно зависима, т. е. существуют скаляры не все равные нулю, такие, что

При этом так как при что противоречит линейной независимости системы (1). Из (3) следует равенство

Если

В силу линейной независимости системы (1) отсюда следует, что

СВОЙСТВО 1.5. Если и

Доказательство. Условие означает что найдутся такие скаляры что

Условие означает, что существуют такие скаляры что

В силу (1) и (2) получаем

ТЕОРЕМА 1.2. Если

то система векторов линейно зависима. Доказательство (проводится индукцией по ).

Будем считать, что векторы — ненулевые, так как в противном случае теорема очевидна. Предположим, что Тогда Следовательно, система векторов линейно зависима.

Предположим, что теорема верна при и докажем, что тогда она верна при . Пусть , т. е.

Если в правых частях равенств (2) все коэффициенты при равны нулю, то и, по индуктивному предположению, система векторов линейно зависима, а значит, линейно зависима и система . Если же хотя бы один из коэффициентов при например отличен от нуля, то исключим вектор из первых равенств. В результате получим

По индуктивному предположению, из (3) следует, что система векторов линейно зависима. Следовательно, существуют скаляры не все равные нулю, такие, что

или

где Следовательно, система векторов линейно зависима.

СЛЕДСТВИЕ 1.3. Если , то система векторов линейно зависима.

СЛЕДСТВИЕ 1.4. Если их, и система векторов линейно независима, то .

СЛЕДСТВИЕ 1.5. В -мерном арифметическом векторном пространстве линейно зависима любая система векторов, состоящая из или большего числа векторов.

Следствие 1.5 вытекает из теоремы 1.2, так как любой -мерный вектор является линейной комбинацией единичных векторов